Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений іі порядка с постоянными коэффициентами
Пусть имеется линейное неоднородное уравнение ІІ порядка с постоянными коэффициентами
Если заменить
справа
нулем, то получим дифференциальное
уравнение
,
которое
называется однородным уравнением,
соответствующим дифференциальному
уравнению, приведенному выше.
Для того чтобы найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения, нужно воспользоваться следующей теоремой: общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Или
,
где у – общее решение данного неоднородного уравнения;
– общее решение
соответствующего однородного уравнения;
– частное решение
данного неоднородного уравнения.
Для того чтобы найти , составим соответствующее однородное уравнение, запишем характеристическое уравнение и по корням этого уравнения найдем .
Для отыскания в общем случае используется метод вариации произвольных постоянных [1 и 3].
В частных наиболее употребительных на практике случаях функция имеет специальный вид:
, 
многочлен
степени n;
;
;
;
;
.
В этих случаях для отыскания можно использовать метод неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем: если имеет специальный вид, то вид частного решения можно определить, пользуясь таблицей:
Функция |
Корни характеристического уравнения |
Частное решение неоднородного уравнения |
|
,
,
|
многочлен степени n
|
– многочлен
степени n
;
;
,
;
;
,
;
,
;
;
–
Rn(x) и Qn(x) многочлены степеня n с неопределенными коэффициентами
Рассмотрим примеры решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений ІІ порядка с постоянными коэффициентами.
Пример 1.
Найти общее решение уравнения
.
Решение. Это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид , где – общее решение соответствующего однородного уравнения; – некоторое частное решение данного неоднородного.
Составим соответствующее однородное уравнение
.
Запишем
его характеристическое уравнение
.
Его корни
– различные действительные числа.
Следовательно, общее решение
однородного уравнения
имеет вид
Поскольку
правая часть уравнения
является многочленом второй степени,
а
,
,
то
тоже будет
многочленом второй степени
.
Сначала находим произведение
; 
.
Теперь
подставим в исходное уравнение вместо
функции,
,
,
для того чтобы найти А, В и С, при которых
является
решением неоднородного уравнения.
;
.
Так как два многочлена тождественно равны лишь в том случае, когда равны их коэффициенты, то для того чтобы являлось решением, нужно приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства.
Получим
Таким образом,
.
Следовательно, общее решение заданного неоднородного уравнения имеет вид
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Это
линейное неоднородное дифференциальное
уравнение ІІ порядка с постоянными
коэффициентами. Следовательно, его
общее решение
является суммой
,
где
– общее
решение соответствующего однородного
уравнения;
–частное
решение данного неоднородного уравнения.
Соответствующее
однородное уравнение имеет вид
.
Его характеристическое уравнение
не имеет действительных корней (в этом
случае D
= – 9). Находим
корни
.
Следовательно,
общее решение этого однородного уравнения
имеет вид
.
Функция
,
причем
.
Поэтому
ищем в виде
.
Чтобы подставить
в
уравнение, находим производные
,
.
После подстановки получим
Следовательно,
.
Окончательно получим
.
Пример
3. Найти
частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Находим сначала общее решение данного уравнения. Это линейное неоднородное уравнение ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Его решение равно сумме , где – общее решение соответствующего однородного уравнения; а –частное решение данного неоднородного уравнения. Составим соответствующее однородное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет вид . Это уравнение имеет один корень
k = 2.
Следовательно, запишется в виде
.
Так как
является многочленом первой степени,
умноженным на
,
а
,
то
ищем в виде
.
Подставим в уравнение. Найдем производные
;
.
Подставим в уравнение, получим
Сократим обе части равенства на и приведем подобные члены
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
.
Таким
образом,
,
а общее решение исходного уравнения
имеет вид
.
Чтобы выделить чстное решение, воспользуемся начальными условиями.
При х = 0 должно быть у = 1. Подставим эти знаения (х = 0 и у = 1) в бщее уравнение
,
т.е. с1
= 1
Чтобы
воспользоватся вторым начальным
условием, найдем производную
.
При
х
= 0 должно получится
.
Подставим эти значения (
и
)
в выражение для производной 0 = 2c1
+
c2.
Таким образом, получим систему
.
Следовательно, частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным условиям, имеет вид
.
Пример
4.
Найти частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение.
Данное уравнение является линейным
неоднородным дифференциальным
уравнением ІІ порядка с постоянными
коэффициентами. Его общее решение
имеет вид
,
где
– общее
решение соответствующего однородного
уравнения (т.е уравнения
);
а
– некоторое частное
решение данного неоднородного уравнения.
Чтобы найти решение
,
составим характеристическое уравнение
.
Корни этого
уравнения
– различные действительные числа.
Следовательно,
имеет вид
.
Так как справа
стоит
,
а
,
то ищем
в виде
.
Подставим в уравнение. Для этого найдем производные
Подставим в исходное уравнение вместо у решение , получим
Приравняв
коэффициенты при
и
в
левой и правой частях равенства, получим
Чтобы найти А и В, решим систему уравнений
.
Итак,
.
Следовательно, общее у будет
.
Чтобы выделить частное решение, воспользуемся начальными условиями (при х = 0, у = 1). Подставим в общее решение х = 0, у = 1. Получим
.
Чтобы воспользоваться вторым начальным условием, найдем производную :
.
При х
= 0 должно получится
.
Подставим эти значения
(х
= 0,
)
в выражение для
.
Получим
При нахождении с1 и с2 получим систему уравнений
.
Следовательно, частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид
.