6.6. Приложения определённого интеграла

Схемы применения определенного интеграла

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т.д.), связанной с отрезком [а; b] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; b] точкой с  (а; b) на части [а, с] и [с; b] значение величины А, соответствующее всему отрезку [a; b], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с] и [с, b].

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одним из двух методов: методом интегральных сумм или методом дифференциала.

Первый метод базируется на определении определенного интеграла.

1 Точками x₀ = a, x₁, … x_n = b разбить отрезок [а; b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на n «элементарных слагаемых» A_i (i = 1, … , n): A = A₁ + A₂ + … + A_n.

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: A_i  f(c_i) x_i.

При нахождении приближенного значения A_i допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т.д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:

A  f(c₁) x₁ + … + f(c_n) x_n = .

3. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т.е.

Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Второй метод представляет собой несколько видоизмененную схему первого метода и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:

1. на отрезке [а; b] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [а; x].На этом отрезке величина А становится функцией х: А = A(x), т.е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х), где х  [а; b] – один из параметров величины А;

2. находим главную часть приращения A при изменении х на малую величину х = dx, т. е. находим дифференциал dA функции А = А(х): dA=f(x)dx, где f(x), определяемая из условия задачи, функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);

3. считая, что dA  A при x  0, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b:

6.7. Вычисление площадей плоских фигур

Прямоугольные координаты

Напомним, что, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (f(x)  0), равна соответствующему определенному интегралу:

или (6.12)

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ox (f (x) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

(6.13)

Формулы (6.12) и (6.13) можно объединить в одну

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = f₁(x) и у = f₂(x), прямыми х = а и х = b (при условии f₂(x)  f₁(x)) (см. рис. 5), можно найти по формуле

.

Рис. 6.5

Если плоская фигура имеет «сложную» форму (рис. 6), то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у = d, осью Оу и непрерывной кривой х =  (у)  0 (рис. 7), то ее площадь находится по формуле

.

О а c d b x Рис. 6

Рис. 7

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически t  [; ], прямыми х = а и х = b и осью Ох,

то площадь ее находится по формуле

,

где  и  определяются из равенств х( ) = а и х( ) = b.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой у = sinх и центральной ветвью тангенсоиды ( ).

Решение.

Фигура, ограниченная заданными кривыми, состоит из двух “лепестков”, симметричных относительно начала координат, поэтому можно найти площадь одного лепестка и результат удвоить (рис. 6.8). Площадь области ОmВn найдём как разность площадей трапеций ОmВb и ОnВb. Найдём точки пересечения линий (значения ), решив систему уравнений:

  ; ,

, ; 

Учитывая условие задачи, выбираем: , .

Итак:

= .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом х = a cos t, у = b sin t.

Решение.

Найдем сначала площади S. Здесь х изменяется от 0 до a, следовательно, t изменяется от до 0 (см. рис. 9).

Рис. 6.9.

Находим:

.

Таким образом, . Значит, S = - a b.•

Полярные координаты

Найдем площадь S криволинейного сектора, т.е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r() и двумя лучами  =  и  =  (  ), где r и  – полярные координаты (рис. 6.10).

O p

Рис. 6.10.

Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения S при d  0 и равен площади кругового сектора ОАС (на рисунке 10 она заштрихована) радиуса r с центральным углом d . Поэтому dS = .

Интегрируя полученное равенство в пределах от  =  до  = , получим искомую площадь

.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» r = a cos 3 (рис. 6.11).

Решение.

Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т.е. часть всей площади фигуры:

,

т.е. . Следовательно, .

Рис. 6.11	Рис. 6.12

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, её следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так, для фигуры, изображенной на рисунке 6.12, имеем:

.