6.10. Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(x)  0, где х  [а, b], a функция у = f(x) и её производная у' = f'(x) непрерывны на этом отрезке.

Тогда площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох вычисляется по формуле

. (6.19)

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = у(t), t₁  t  t₂, то формула (6.19) для площади поверхности вращения принимает вид

.

Пример. Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение.

Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности , -R  х  R, вокруг оси Ох. По формуле (6.19) находим

.