1.3. Определители. Основные определения
Любой
квадратной матрице
порядка
ставится в соответствие по определенному
закону некоторое число, называемое
определителем (или детерминантом)
–
го порядка этой матрицы.
Так
как квадратная матрица первого порядка
состоит из одного элемента
,
то определителем такой матрицы называется
число равное величине этого элемента
и обозначаемое символом
,
т.е. определитель
первого порядка
.
Определителем
квадратной матрицы второго порядка
называется число равное
и обозначаемое символом
,
т.е.
.
(1.12)
Таким
образом,
– определитель
второго порядка.
Числа
называются элементами определителя
второго порядка. Как и для матриц, элемент
определителя находится на пересечении
его
–
ой строки и
–
го столбца.
Формула (1.12) представляет собой правило вычисления определителя второго порядка: определитель второго порядка равен разности произведения элементов на главной диагонали и произведения элементов на побочной диагонали.
○ Пример 1.5. Вычислить определитель второго порядка
.
Решение.
По формуле (1.12) находим
.
●
Определителем
квадратной матрицы третьего порядка
называется число
и обозначаемое символом
,
т.е.
.
(1.13)
– определитель третьего порядка, его вычисляют по формуле (1.13). Заметим, что каждое слагаемое в (1.13) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному элементу из каждой строки и каждого столбца.
Правило вычисления определителя третьего порядка (правило Саррюса): это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах: со знаком плюс берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали (см. рис.1.1а); со знаком минус – произведения, сомножители которых стоят на побочной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (см. рис.1.1б).
а) б)
Рис. 1.1. Правило Саррюса
○ Пример
1.6. Вычислить
определитель третьего порядка
.
Решение. По формуле (1.13) находим
.
●
Аналогично
можно ввести в рассмотрение определитель
–го
порядка
как число, получаемое из алгебраической
суммы
произведений элементов определителя,
причем в каждое произведение входит по
одному элементу из каждой строки и
каждого столбца.
Определитель
–
го порядка обозначают также как
и
или
– определитель матрицы
.
Введем общее правило вычисления определителей – го порядка. Для этого предварительно рассмотрим понятия минора и алгебраического дополнения.
Минором
элемента
определителя
называется определитель
,
полученный из данного вычеркиванием
–
ой строки и
–
ого столбца, на пересечении которых
находится этот элемент.
Например,
минором элемента
определителя
является определитель второго порядка
,
а минором элемента
–
;
минором элемента
определителя
является элемент
и т.д.
Алгебраическим
дополнением
элемента
определителя
называется его минор, взятый со знаком
,
т.е.
.
(1.14)
Если
сумма
номера строки
и номера столбца
рассматриваемого элемента есть четное
число, то ставят знак «+» перед минором
в (1.14), а если нечетное, то знак «–».
○ Пример
1.7. Найти
алгебраические дополнения элементов
,
,
и
определителя
.
Решение. По определению алгебраического дополнения находим
;
;
;
.
●
Приведем без доказательства теорему, из которой следует правило вычислений определителей любого порядка.
Теорема. Определитель – го порядка равен числу, вычисляемому как сумма парных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.
(1.15)
или
.
(1.16)
Формулы (1.15) и (1.16) представляют правило вычисления определителей – го порядка. Формула (1.15) дает разложение определителя по элементам его – ой строки, а (1.16) – разложение определителя по элементам его – ого столбца.
Формулы
(1.15) – (1.16) сводят вычисление определителя
–
го порядка к вычислению определителя
–
го порядка. Так зная формулу вычисления
определителя второго порядка (1.12) можно
найти определитель третьего порядка.
Разложим определитель
по элементам первой строки по формуле
(1.15) и получим
.
(1.17)
Так применим формулу (1.17) к определителю из примера 1.6 и получим тот же результат:
.
Зная
формулу вычисления определителя третьего
порядка (1.13), можно найти определитель
четвертого порядка и т.д. Таким образом,
зная формулу вычисления определителя
–
го порядка можно вычислить определитель
–
го порядка.
Подчеркнем, что разложение определителя по формулам (1.15) – (1.16) не зависит от выбора ряда, его можно осуществлять по элементам любой строки или столбца, результат всегда будет один и тот же. Так разложим определитель из примера 1.6 по элементам второго столбца и получим тот же результат:
.
○ Пример 1.8. Вычислить определитель четвертого порядка
.
Решение. Вычислим этот определитель двумя способами: разложив его по элементам четвертой строки по формуле (1.15) и разложив его по элементам третьего столбца по формуле (1.16):
1)
=
.
2)
=
.
Результаты вычислений совпадают. ●