2.2. Система линейных уравнений с неизвестными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными :

(2.4)

Запишем систему (2.4) в матричной форме и решим ее методом обратной матрицы. Если , то существует обратная к матрица. Умножим обе части уравнения слева на обратную матрицу и получим Отсюда получим решение системы (2.4), записанное в матричной форме:

. (2.5)

Распишем его =

.

Если воспользоваться свойством 11 для определителей, то получим , т.е.

, , … , (2.6)

где – определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой – го столбца коэффициентов при неизвестном столбцом свободных членов , т.е.

.

Таким образом, если определитель линейной системы отличен от нуля, то система (2.4) имеет единственное решение, которое определяется по формулам (2.6). Формулы (2.6) называются формулами Крамера. Если и все ( ), то линейная система (2.4) имеет бесконечное множество решений. Если и хотя бы один определитель ( ) отличен от нуля, то линейная система не имеет решений.

Если однородная линейная система имеет ненулевое решение, то ее определитель равен нулю ( ). Справедливо и обратное утверждение.

○ Пример 2.2. Решить системы линейных уравнений методом обратной матрицы и по формулам Крамера:

а) б) в)

Решение. а) Так как , то найдем обратную матрицу и решим систему методом обратной матрицы.

Найдем алгебраические дополнения:

; ; ; ; ; ; ; ; .

Построим присоединенную матрицу .

Найдем обратную матрицу

По формуле (2.5) найдем решение системы линейных уравнений .

Откуда , , .

Найдем решение этой же системы по формулам Крамера (2.6). Так как

,

,

,

то получим: , , .

Таким образом, оба метода дают одинаковое решение системы линейных уравнений.

Замечание. После того, как найдено решение линейной системы, рекомендуется сделать проверку. Например, подставим , , во второе уравнение исходной системы . Решение правильное, так как получаем тождество.

б) Так как , то обратная матрица не существует.

.

Так как , а (при этом возможно, что и ), то система линейных уравнений не имеет решений.

в) Так как , то обратная матрица не существует. Найдем , и :

, ,

,

Так как и , то система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений. ●

2.3. Метод последовательного исключения неизвестных.

Преобразования Жордана-Гаусса

Существенным недостатком решения систем линейных уравнений с неизвестными по формулам Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислениями определителей и нахождением обратной матрицы. Поэтому эти методы ценны как теоретические, а на практике используются для решения экономических задач лишь в случае, когда .

Для решения систем (2.1), когда в общем случае , в практических задачах рекомендуется применять метод последовательных исключений (или метод Гаусса).

Этот метод состоит в следующем. Проведем элементарные преобразования линейной системы: предполагая, что ⁴, разделим первое уравнение на и, умножая его последовательно на , , …, , прибавляем его соответственно ко второму, третьему, …, – ому уравнению. В результате коэффициенты при неизвестной во всех уравнениях, начиная со второго, равны нулю. Получаем уравнения не содержащие , т.е. система линейных уравнений будет иметь вид

Оставим неизменным первое уравнение. Предполагая, что разделим второе уравнение на и, умножая его последовательно на , , …, , прибавляем его соответственно к третьему, четвертому, …, – ому уравнению. В результате коэффициенты при неизвестной во всех уравнениях, начиная с третьего, равны нулю. Получаем уравнения не содержащие . Продолжая процесс последовательного исключения неизвестных можно привести (2.1) к равносильной линейной системе.

Так, если , то получим треугольную линейную систему:

(2.7)

или

(2.8)

где – преобразованные коэффициенты при неизвестных; – преобразованные свободные члены.

В линейной системе (2.7) ( ), поэтому система имеет единственное решение. Значение находится из последнего уравнения, значение – из предпоследнего, …, значение – из первого. Таким образом, двигаясь в обратном порядке, находим значения всех неизвестных величин. Для линейной системы (2.7) ранг матрицы системы равен числу переменных, т.е. .

Если в линейной системе (2.8) хотя бы один свободный член ( ), то эта линейная система несовместна, так как никакие значения неизвестных не могут удовлетворить последним уравнениям. В этом случае ранг основной и расширенной матриц системы не совпадают.

Если в линейной системе (2.8) все ( ), то система имеет бесконечное множество решений. Здесь ранг матрицы системы . В этом случае можно отбросить уравнение. Тогда вместо (2.8), а также в случае из (2.1), получим квазитреугольную линейную систему, состоящую из уравнений:

(2.9)

или

(2.10)

В линейной системе (2.10) слагаемые содержащие неизвестные перенесены в правые части уравнений. Таким образом, в (2.10) неизвестные выражены через остальные неизвестных . Действительно, из последнего уравнения найдем , выразив ее через неизвестные . После подстановки в предпоследнее уравнение, выразим через и т.д. получим

(2.11)

где ( ; ) и – преобразованные коэффициенты и свободные члены .

В полученных формулах (2.11), выражающих через , неизвестные могут принимать любые значения. Линейная система (2.11) имеет бесконечное множество решений. Неизвестные в (2.11) называются базисными (или основными) переменными, а неизвестные называются неосновными (или свободными) переменными. Ранг основной матрицы системы (2.1) равен числу базисных переменных.

Решение линейной системы (2.11), в котором все неосновных переменных равны нулю, называется базисным. В общем случае, неосновные переменные необязательно равны нулю.

Метод последовательных исключений неизвестных применим к любой линейной системе. Преобразования этого метода удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей, составленной из коэффициентов и свободных членов (для удобства, в дальнейшем будем отделять свободные члены в расширенной матрице вертикальной линией):

(2.12)

○ Пример 2.3. Решить системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных

а) б) в)

Решение. а) Преобразуем расширенную матрицу системы

.

После преобразований линейная система имеет вид

Таким образом, решение линейной системы имеет вид:

.

б) Преобразуем расширенную матрицу системы

.

После преобразований линейная система имеет вид

Эта система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как может принимать любое действительное значение. – базисные переменные, а – свободная переменная. Если , то базисное решение имеет вид: .

в) Преобразуем расширенную матрицу системы

.

Система несовместна, так как последняя матрица содержит строку, соответствующую уравнению, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, т.е. третье уравнение после преобразований имеет вид .●

От системы (2.1) к линейной системе (2.11) можно прийти, применив преобразования Жордана–Гаусса. Преобразования Жордана–Гаусса системы линейных уравнений состоят из элементарных преобразований, основанных на выборе разрешающего элемента в каждом – ом уравнении и последующих преобразованиях системы так, чтобы переменная входила только в – ое уравнение с коэффициентом .

Преобразования Жордана–Гаусса значительно удобнее производить, если записать систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы (2.12). Выберем ненулевой коэффициент в первой строке. Пусть это будет ⁵. Он называется разрешающим элементом^**, выделяем его квадратными скобками. Разделим все коэффициенты и свободный член этого уравнения (или строки) на . Умножая первое уравнение последовательно на , , …, , прибавляем его соответственно ко второму, третьему, …, – ому уравнению. В результате, коэффициенты при неизвестной во всех уравнениях, начиная со второго, равны нулю. Получаем уравнения, не содержащие . Аналогично выберем разрешающий элемент во второй строке. Пусть это будет .

.

Разделим все коэффициенты и свободный член этого уравнения (или строки) на . Умножая второе уравнение последовательно на , , …, , прибавляем его соответственно к первому, третьему, …, – ому уравнению. В результате, коэффициенты при неизвестной во всех уравнениях, кроме второго, равны нулю. Получаем уравнения, не содержащие .

Аналогично в третьей строке найдем разрешающий элемент и т.д., преобразования производить до тех пор, пока не получим линейную систему:

. (2.13)

Линейная система, соответствующая расширенной матрице (2.13) равносильна системе (2.11), которая имеет бесконечное множество ненулевых решений.

Если в линейной системе (2.1) ранг основной матрицы равен числу неизвестных, т.е. , то расширенная матрица в результате преобразований Жордана–Гаусса будет иметь вид:

. (2.14)

Ей соответствует система линейных уравнений

(2.15)

решение которой .

Таким образом, для решения системы (2.1) нет необходимости вначале находить ранги основной и расширенной матрицы, сравнивать их, чтобы проверить теорему Кронекера–Капелли, а достаточно сразу применить метод Жордана–Гаусса (или метод последовательных исключений неизвестных). Он позволяет однозначно установить совместна система или нет, а если совместна – найти ее решение (единственное или бесконечное множество).

○ Пример 2.4. Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:

а) б)

Решение. а) Преобразуем расширенную матрицу системы

.

Выбираем разрешающий элемент в первой строке . Разделим первую строку на 2. Умножаем последовательно первую строку на , , и прибавляем ее ко второй, третьей и четвертой строке.

Выбираем разрешающий элемент во второй строке . Умножаем последовательно вторую строку на , , и прибавляем ее к первой, третьей и четвертой строке.

Поменяем местами третью и четвертую строки и выбираем разрешающий элемент в третьей строке . Умножаем последовательно третью строку на , , и прибавляем ее к первой, второй и четвертой строке.

Выбираем разрешающий элемент в четвертой строке . Разделим четвертую строку на . Умножаем последовательно четвертую строку на , , и прибавляем ее к первой, второй и третьей строке.

После преобразований получим систему линейных уравнений:

Таким образом, решение линейной системы имеет вид:

.

б) Преобразуем расширенную матрицу системы

. .

После преобразований получим систему линейных уравнений:

Таким образом, решение линейной системы имеет вид:

. ●

○ Пример 2.5. Решить систему линейных уравнений:

а) б)

Решение. а) Найдем ранг основной матрицы:

.

Откуда , т.е. ранг основной матрицы равен числу неизвестных. Так как, линейная система однородная, то она имеет только нулевое решение.

Действительно, так как и

, , ,

то по формулам Крамера (2.6): , , .

Аналогично по методу Жордана–Гаусса:

. .

Откуда

б) Найдем ранг основной матрицы:

.

Откуда , т.е. ранг основной матрицы меньше числа неизвестных. Так как, линейная система однородная, то она имеет бесконечное множество решений.

Решим систему методом Жордана–Гаусса:

.

Откуда

Эта система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как может принимать любое действительное значение. – базисные переменные, а – свободная переменная. Базисное решение имеет вид: , , .