Метод Гаусса з вибором головного елемента.

Запишемо розширену прямокутну матрицю коефіцієнтів системи з рівнянь.

Серед елементів матриці вибираємо найбільший за модулем елемент, який називається головним елементом. Нехай ним буде . Рядок з номером називається головним рядком. Обчислюємо множники для всіх .

Далі перетворюємо матрицю наступним чином: з кожного го неголовного рядка віднімаємо почленно головний рядок, домножений на . Отримаємо матрицю, у якої всі елементи го стовпця за винятком , дорівнюють нулю. Відкидаючи цей стовпець і головний рядок, отримуємо нову матрицю з меншою на одиницю кількістю рядків та стовпців. Над матрицею повторюємо такі ж дії й тримаємо матрицю і т.д. Ці перетворення продовжуємо доки не отримаємо матрицю, що містить один рядок з двох елементів, який вважаємо головним.

Об’єднаємо всі головні рядки починаючи з останнього. Після перестановки вони утворять трикутну матрицю, еквівалентну початковій матриці . Цей етап називають прямим ходом обчислень. Розв’язавши систему з отриманою трикутною матрицею коефіцієнтів, знайдемо послідовно невідомі . Цей етап обчислень називають зворотним ходом. Усі описані обчислення провадять аналогічно до методу Гауса. Сенс вибирання головного елемента полягає в тому, щоб зробити як найменшими числа і завдяки цьому зменшити похибку обчислень.

Метод LU – розвитку

Це одна з модифікацій методу Гауса. Матрицю А зображають у вигляді добутку двох трикутних матриць: , де

(7)

Тоді система коефіцієнтів системи з рівнянь набуде вигляду

(9)

(10)

Прямий хід тут – це розв’язування системи (9), зворотний – розв’язування системи (10). Елементи матриць і обчислюють послідовно: спочатку елементи першого стовпця матриці , потім – першого рядка матриці і перший елемент вектора ; далі – другий стовпець матриці , другий рядок матриці і другий елемент вектора і так далі:

Під час зворотного ходу визначають невідомі :

Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

До ітераційних методів належать: метод простої ітерації, метод Зейделя, метод верхньої релаксації та інші.

Метод простої ітерації.

Нехай дано лінійну систему

(1)

Розглянемо матриці

Тоді систему (1) можна записати у вигляді матричного рівняння

(2)

Будемо вважати, що діагональні коефіцієнти (і = 1, 2,…, n).

Розв’яжемо перше рівняння системи (1) відносно , друге відносно і т.д. Тоді одержимо еквівалентну систему

(3)

де , при ; , при ;

; ;

Іноді кажуть, що система (3) зведена до нормального вигляду.

Введемо матриці  та 

Систему (3) запишемо у вигляді

(4)

Систему (3) будемо розв’язувати методом послідовних наближень. За нульове наближення позначимо, наприклад, стовпчик вільних членів . Далі послідовно будуємо матриці-стовпці:

– перше наближення

– друге наближення і т.д.

Будь-яке (k + 1)-е наближення обчислюється за формулою:

, (k = 0, 1, 2, …) (5)

В розгорнутому вигляді .

Якщо послідовність наближень має границю

, (6)

то ця границя є розв’язком системи (3).

На практиці ітераційний процес припиняють, коли , де  – гранична абсолютна похибка.

Приклад. Розв’язати систему методом простої ітерації:

.

Зведемо систему до нормального вигляду

(7)

або в матричній формі

(8)

За нульові наближення коренів системи приймаємо

.

Підставляємо ці значення в праві частини рівняння (7). Одержимо перші наближення коренів

Далі знаходимо другі і треті наближення коренів