7. Решить задачи.

А.В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Б. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?

В. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

Г. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Д. Принимая вероятность изготовления нестандартной детали 0,05, найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей четыре – стандартные.

Е. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 10 новорожденных – 6 мальчиков.

8. Решить задачи:

А. Заданы х₁=-4, х₂= 6, х₃=10 и р₁=0,2, р₂=0,3, p₃=0,5. Найти математическое ожидание М(х).

Б. Заданы х₁=2, х₂=4,x₃=5,x₄=6 и p₁=0,3, p₂=0,1, p₃=0,2,p₄= 0,4. Найти математическое ожидание М(х).

В. Заданы х₁=-1, х₂=2, x₃=5, и p₁=0,3, p₂=0,5, p₃=0,2. Найти дисперсию D(x).

Г. Даны р₁=0,2, р₂= 0,3, р₃=0,5 и математическое ожидание М(х)=2,3. Найти возможное значение дискретной случайной величины х₃, если х₁=1,х₂=2.

Д. Заданы х₁=-10, х₂=10, x₃=20, и p₁=0,1, p₂=0,4, p₃=0,5. Найти дисперсию D(x).

Кратные интегралы:

1. Вычислить двукратный интеграл .

2. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь, ограниченную одной петлей кривой .

3. Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле .

4. Расставить пределы интегрирования в интеграле , где D: ρ = sin .

5. Вычислить , где 0x1, 0y2.

6. Вычислить .

МАТЕРИАЛЫ ПО КОНТРОЛЮ И ОЦЕНКЕ УЧЕБНЫХ ДОСТИЖЕНИЙ СТУДЕНТОВ.

Вопросы контроля теоретических знаний:

1. Определенный интеграл и его свойства.

2. Геометрические приложения определенного интеграла. Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла

3. Оценки определенного интеграла. Теоремы о среднем.

4. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

5. Приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоских фигур, длин плоских дуг, объемов тел вращения, площадей поверхностей вращения).

6. Функция многих переменных. Основные определения. Предел и непрерывность функции многих переменных.

7. Частные производные и дифференциал функции многих переменных. Исследование функции многих переменных. Экстремум функции двух переменных. Производная по направлению, градиент функции.

8. Дифференциальные уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Уравнение с разделенными и разделяющимися переменными. Однородное уравнение. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли.

9. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

10. Случайное событие. Операции над случайными событиями. Поле событий. Определения вероятности (классическое, геометрическое и статистическое). Аксиоматическое построение теории вероятностей. Свойства вероятности.

11. Теоремы сложения и умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

12. Формула Бернулли. Полиномиальная схема. Наивероятнейшее число появления события. Локальная и интегральная предельная теоремы. Лапласа.

Случайная величина. Дискретная случайная величина. Непрерывная случайная величина. Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.