1.2.6. Прямокутна система координат

Візьмемо на площині дві взаємно перпендикулярні осі Ох і Оу, які перетинаються в точці О (рис. 1.10). Ці осі утворюють прямокутну систему координат Охy. Вісь Ох називається віссю абсцис, вісь Оу — віссю ординат.

Рис. 1.10

Абсциса та ордината точки А називаються координатами цієї точки на площині. Кожній точці на площині відповідає пара дійсних чисел, і навпаки.

1.2.7. Комплексні числа

Означення. Комплексним числом називається число виду a + іb, де a, b  R, .

Дійсне число а називається дійсною частиною комплексного числа а + іb, а дійсне число b — його уявною частиною. Число і називається уявною одиницею.

Означення. Два комплексні числа а + bі і с + dі називаються рівними, якщо а = с і b = d.

Означення. Два комплексні числа виду а + bі та а – bі називаються спряженими.

Комплексні числа зображають на числовій площині. Для цього вибирають на площині прямокутну систему координат (рис. 1.11). Комплексне число а + іb зображається точкою M (х, y), абсциса x якої дорівнює дійсній частині комплексного числа а(х = а), а ордината у дорівнює уявній частині комплексного числа b (у = b).

Рис. 1.11

З образити на площині комплексні числа:

3 + 4і; – 2 + 3і; – 3 – 2і; 4 + 0і; 0 + 2і.



Рис. 1.12

1.2.8. Дії з комплексними числами

Означення. Сумою двох комплексних чисел а + bi і с + dі називається комплексне число (а + с) + (b + d)і:

а + bі + (c + dі) = a + c + (b + d)і.

1) (– 3 + 5і) + (4 – 8і) = (– 3 + 4) + (5 – 8)і = 1 + (– 3)і;

2) (– 2 + 3і) + (– 2 – 3і) = (– 2 – 2) + (3 – 3)і = – 4 + 0і = – 4.

Означення. Різницею двох комплексних чисел а + bі та с + dі називається комплексне число (а – с) + (b – d)і.

а + bі – (c + dі) = a – c + (b – d)і.

1) (– 5 + 2і) – (3 – 5і) = (– 5 – 3) + (2 – (– 5))і = – 8 + 7і.

2) (3 – 4і) – (3 + 4і) = (3 – 3) + (– 4 – 4)і = 0 + (– 8)і = – 8і.

Означення. Добутком двох комплексних чисел а + bі і с + dі називається комплексне число (ас – bd) + (аd + bс)і.

(a + bі)(c + dі) = ac + adі + bidі + bcі = ac – bd + (ad + bc)і

Заув аження. На практиці не завжди користуються формулою. Можна комплексні числа множити, як двочлени.

1) (1 – 2і)(3 + 2і) = 3 – 6і + 2і – 4і² = 7 – 4і;

2) (а + іb)(а – іb) = а² + b².

Означення. Часткою двох комплексних чисел а + bі і с + dі називається комплексне число

.

 

1.2.9. Модуль та аргумент комплексного числа

Означення. Модулем комплексного числа а + bі називається вираз який позначається r або |а + bі|.

Рис. 1.13

Означення. Кут  між віссю Ох і відрізком ОМ, де точка М зображає комплексне число а + bі, називається аргументом комплексного числа а + bі (рис. 1.13).

Кожне відмінне від нуля комплексне число має нескінченну кількість аргументів, які відрізняються один від одного на 2k. Для числа 0 аргумент не визначений.

А ргумент  комплексного числа а + bі визначається формулами:

(1)

З ауваження. Щоб користуватися цими формулами, потрібно враховувати знаки абсциси та ординати комплексного числа.

З найти аргумент комплексного числа – 3 – 3і.

 За формулою (1) маємо

, або  = 45,  = 225 і т. ін. Але кут 45 не є аргументом числа – 3 – 3і (рис. 1.14). Правильною є така відповідь: 225; – 135; 585 і т. д. Цей результат дістаємо, враховуючи, що абсциса та ордината комплексного числа є від’ємними, тобто точка М належить чверті ІІІ.

Рис. 1.14

Означення. Значення аргументу, яке належить проміжку (– ; ), називається головним.

Д ля комплексних чисел – 3 – 3і; 2і; – 5і головне значення аргументу дорівнює – 135; 90; – 90.

З ауваження. Аргумент дійсного додатного числа має головне значення 0; від’ємного числа 180. Головні значення аргументу спряжених комплексних чисел мають одну й ту саму абсолютну величину, але протилежні знаки. Наприклад, головні значення аргументу спряжених чисел – 3 + 3і та – 3 – 3і дорівнюють 135 і – 135.