1.2.10. Тригонометрична форма комплексного числа

Розглянемо трикутник ОАМ (рис. 1.13) і запишемо такі співвідношення між його сторонами:

; .

Звідси , тобто маємо:

; ; ; ; , .

(2)

Подання комплексного числа у вигляді (2) називається тригонометричною формою комплексного числа.

З аписати комплексне число 1 + і у тригонометричній формі (рис. 1.15).

 Згідно з (2) маємо:

Рис. 1.15

; . Отже, .

Додавання і віднімання комплексних чисел простіше і зручніше виконувати, коли вони задані в алгебраїчній формі. Для інших алгебраїчних дій зручніша тригонометрична форма.

Наприклад, добуток двох чисел і подається так:

.

1.2.11. Піднесення комплексного числа до степеня

Степенем р комплексного числа є число , де р — будь-яке ціле число. Ця формула легко виводиться за означенням добутку комплексних чисел.

З найти , якщо .

 . 

1. Якщо р = n (n — ціле число) і r = 1, дістаємо формулу Муавра:

.

(3)

Якщо р — ірраціональне, то р-й степінь будь-якого числа має нескінченну множину значень.

П одати sin3 та cos3 через sin та cos.



Прирівнюючи відповідні абсциси та ординати, дістаємо:

. 

2. Якщо р = 1/n, маємо:

, k = 0, 1, 2, …, n – 1.

(4)

З найти .

 За формулою (3) , . Далі згідно з (4) (рис. 1.16):

; .

Рис. 1.16

1.2.12. Показникова форма комплексного числа

Формула Ейлера:

Згідно з цією формулою комплексне число можна подати в показниковій формі:

(5)

 Справді, нехай r — модуль комплексного числа z = a + ib, а  — головний аргумент. Тоді

z = r (cos + i sin).

Беручи до уваги формулу Ейлера, дістаємо:



Властивості:

О бчислити дійсне значення .

 . 

ВИСНОВОК

Основні формули

або 1) ,
2)  , k = 0, 1, 2, …, n – 1; 3)  .

40