Робота 2. Вивчення законів обертального руху на прикладі маятника Обербека Теоретична довідка

Обертальний рух є прикладом простого механічного руху. Для опису обертального руху вживають такі категорії як момент інерції тіла та момент сили. Для окремої матеріальної точки моментом інерції відносно осі обертання називають добуток маси на квадрат відстані до цієї осі. Момент інерції J системи матеріальних точок з масами знаходиться як сума мо­ментів окремих точок.

(1)

Моментом сили відносно осі обертання називають векторний добуток раді­ус-вектору від осі обертання до місця прикладення сили на діючу силу :

(2)

Модуль моменту сили:

(2)

де  — кут між векторами та . R sin — це плече дії сили , що дорівнює довжині перпендикуляру, проведеного від початку раді­ус-вектору до лінії дії сили.

Рух тіла з моментом інерції J, що обертається з кутовою швидкістю  навколо нерухомої осі, описується таким рівнянням:

(3)

де K — момент зовнішніх сил відносно осі обертання. При обертанні твер­до­го тіла його момент інерції не залежить від часу і рівняння (3) спро­щується:

(4)

Рівняння (4) подібне до рівняння Ньютона , що описує рух матеріальної точки. Момент сил K відіграє роль сили F, момент інерції J — роль маси m, а ку­то­ве прискорення є аналогом лінійного прискорення .

Література

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. — М.: Наука, 1979, п.п. 30, 32, 35, 36.

2. Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975, гл. VII, п.п. 52, 53, 59; гл. V, п.п. 41, 42.

Поміркуйте:

1. Чому колесо на велосипеді має багато спиць? Що було б, якби спиць було всього дві?

2. Чому, коли кидають камінець, намагаються відвести руку якомога далі від тіла?

Мета: вивчення обертального руху маятника Обербека в залежності від прикладеного моменту сил та моменту інерції маятника

Устаткування:

маятник Обербека; набір тягарців; секундомір; масштабна лінійка, терези.

Теоретичні основи експерименту

Рис. 2

Маятник Обербека схематично зображено на рисунку 2. Чотири спи­ці, закріплені на втулці, утворюють одна з одною пря­мі кути. Спільна вісь проходить через втулку та два шківи з радіусами r₁ та r₂ . Вісь закріплена в голчатих вальницях, так що вся система може віль­но обертатися навколо горизонтальної осі. Момент інерції приладу можна змі­ню­вати, пересуваючи вантажі m вздовж спиць.

На один із шкивів ма­ят­ни­ка намотано тонку нитку. До нитки прив’язано тягарець відомої маси. (У комплекті є тягарці різних мас). Обер­товий мо­мент утворюється силою натягу нитки T:

.

(5)

Силу T можна знайти з рівняння руху тягарця маси M:

Mg — T = Ma

(6)

Прискорення a пропорційне кутовому прискоренню 

,

(7)

і визначається експериментально. Дійсно, вимірюючи час t, за який тягарець від стану спокою знижується на відстань h , знаходимо a за формулою

.

(8)

Система рівнянь (5)-(8) дозволяє визначити момент інерції маятника та перевірити загальне рівняння динаміки (4) за умови, що момент сил тертя K_ТЕР відносно осі маятника значно менший, ніж момент натягу нитки T.

Насправді момент сил тертя K_ТЕР може бути досить великим і призвести до спотворення результатів вимірювань. На перший погляд здається, що змен­шити роль сил тертя можна завдяки збільшенню маси тягарця M. Але така точка зору є хибною, тому що

1) збільшення маси M призводить до збільшення тиску маятника на вісь і, тим самим, до збільшення сил тертя;

2) збільшення M призводить до зменшення часу падіння тягарця, що знижує точність вимірювання часу.

В запропонованій установці момент сил тертя знижено завдяки вико­ристанню голчатих вальниць для кріплення осі маятника. Незважаючи на це, повністю запобігти впливу тертя неможливо, і це повинно братися до уваги при обробці результатів експерименту.

При обробці результатів експерименту зручно переписати рівняння (4) таким чином, щоб воно містило момент сил тертя в явному вигляді:

(4')

Момент інерції системи визначається за формулою Гюйгенса-Штейнера:

(9)

де J₀ — момент інерції системи без вантажів, R — відстань від осі обертання до центра мас вантажів J_В — момент інерції одного вантажа відносно осі, що проходить через його центр мас паралельно осі обертання. Пропонуємо ви­вести цю формулу самостійно.