Експериментальні подробиці

Час руху тягарця вимірюється електронним секундоміром, що вми­ка­ється та вимикається сигналами від фотодатчиків. Початок та кінець руху тягарця ре­є­струється його проходженням оптичної осі фотодатчиків, тому перед по­чатком експерименту треба слідкувати за тим, щоб нижній кінець тягарця знаходився безпосередньо над оптичною віссю верхнього фотодатчика.

Фотодатчики та шкала цифрової індикації часу вмикаються при ввімкненні приладу. При цьому вмикається також фрикційне гальмо, що утри­мує маятник у заданному положенні. Гальмо вимикається, якщо на­тис­нути на кнопку "Пуск" і утримувати її у натиснутому стані.

Висота падіння визначається за шкалою, що нанесена на стояк, за різницею положень оптичних осей верхнього та нижнього фотодатчиків.

Завдання

1. Дослідіть обертальний рух маятника під дією різних тягарців при сталому моменті інерції системи.

1. Розташуйте вантажі m на деякій відстані R від осі обертання і до­сяг­ніть байдужої рівноваги маятника. Виміряйте та запишіть відстань R.

2. Проведіть експеримент з тягарцем маси М, вимірюючи час падіння тягарця. Експеримент слід повторити 8-10 разів, а потім усереднити значення t.

3. Повторіть дослід п.1.2 на обох шківах для 3-4 різних значень М.

2. Повторіть виміри п.п. 1.2, 1.3 для 3-4 різних значень моменту інерції сис­теми.

3. Повторіть виміри п. 1.2 для 3-4 різних значень мас М для системи без вантажів m.

4. Зробіть необхідні виміри для визначення власного моменту інерції вантажів .

Обробка результатів експерименту

1. Користуючись вимірами п.п. 1.2. та 1.3 знайдіть кутове прискорення  та обертовий момент К, які відповідають руху кожного з тягарців на обох шківах для усіх значень моменту інерції системи J. Визначте похибки.

2. Для кожного значення R подайте у графічному вигляді залежність кутового прискорення  від обер­тового моменту К. Визначте моменти інерції системи J та моменти сил тертя К_ТЕР. Які похибки мають ці величини?

3. Порівняйте отримані значення К_ТЕР. Чи залежить величина К_ТЕР від моменту інерції системи? Усередніть значення К_ТЕР.

4. Результати визначення J при різних значеннях R подайте у графічному ви­гляді як залежність J(R ²). Поміркуйте, чому пропонується побудувати са­ме таку залежність. Обробивши результати, визначте момент інерції системи без вантажів J₀. Як узгоджуються результати експерименту з фор­мулою (9)? Як співвідноситься величина похибки експерименту з J_B? Які можливі джерела експериментальних похибок?

Контрольні запитання

1. Наскільки істотна величина моменту сил тертя? Чи дозволяє рівняння (4') визначити будь-яку величину К_ТЕР?

2. Яку роль в експерименті відіграє товщина та пружність нитки?

3. Яку з величин у даному експерименті треба вимірювати з найбільшою точністю?

4. Чому маятник має саме 4 спиці? Що зміниться, якщо взяти лише 2 спиці (6 спиць)?

5. Як з’ясувати, чи добре збалансовано маятник (чи дійсно він знаходиться у байдужій рівновазі)?

6. Сформулюйте й доведіть теорему Гюйгенса-Штейнера.

Робота 3. Вивчення фізичного маятника. Теоретична довідка

Фізичним маятником називають будь-яке тверде тіло, яке може вільно коливатись навколо горизонтальної осі під дією сили тяжіння. Рух такого маятника описується рівнянням:

(1)

Рис. 3.2

де J — момент інерції маятника,  — кут відхилення центра мас маятника від поло­ження рівноваги, M — момент сил, що діють на маятник, t — час ( рис.3.2 ). Наприклад, для однорідного стержня дов­жи­ною l за теоремою Гюйгенса-Штейнера мо­мент інерції дорівнює

,

де m — маса маятника, s — відстань між центром мас та віссю обер­тання,

Момент сили тяжіння, що діє на маят­ник знаходиться за формулою

M = s m g sin ,

Якщо кут  ма­лий, тоді sin , і

Добре налагоджений маятник може зробити кілька сот коливань без помітного згасання, тому моментом сили тертя в першому наближенні можна знехтувати. Підставляючи вираз для M в (1), легко отримати рівняння для коливань

(2)

з частотою

.

(3)

Рівняння (2) описує гармонічні коливання, що відбуваються за законом (t) = A sin(t + ). Амплітуда коливань A та їх фаза  залежать від способу збудження коливань, тобто від початкових умов. Власна частота коли­вань , згідно з (3), визначається тільки параметрами маятника J та s.

Період коливань фізичного маятника T = 2/, як і його частота, не за­ле­жить від фази та амплітуди коливань і дорівнює

.

(4)

Рух маятника описується рівнянням гармонічних коливань (2) лише за умови малих амплітуд, а саме, коли sin. Слушність такого припущення можна перевірити експериментально, впевнившись у незалежності періоду коли­вань від амплітуди.

Якщо ввести позначення

(5)

то формула (4) буде мати такий самий вигляд, як і формула для періоду коливань математичного маятника з довжиною L:

.

(6)

Тому величину L називають зведеною довжиною фізичного маятника. Точку О', що віддалена від точки опори О на відстані L, називають центром гойдання фізичного маятника. Точка опори та центр гойдання маятника взаємні, тобто при гойданні маятника навколо точки О' період коливань повинен бути таким самим, як і підчас гойдання навколо точки О. Пропонуємо довести цей факт самостійно.

Література

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. — М.: Наука, 1979, п.п. 30, 33, 35, 36, 40, 41.

2. Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975, гл. VII, п.п. 52, 59; гл. XIV, п. 124.

Поміркуйте

1. Навіщо раніше годинники робили з маятником? Яку роль відігравав маят­ник і як у сучасних годинниках обходяться без нього?

2. Чому кулі із зміщеним центром мас вважаються небезпечнішими за зви­чайні?

Мета: Визначення прискорення вільного падіння за допомогою оборотного маятника.

Устаткування:

фізичний маятник (однорідний сталевий стержень з парою вантажів та призм); штатив для підвісу маятника; математичний маятник; лічильник коливань; секундомір; масштабна лінійка.

Теоретичні основи експерименту

В даній роботі використовується метод знаходження при­ско­рення вільного падіння за допомогою визначення періоду вільних коливань фізичного маятника за формулами (4), (6).

Тут J — момент інерції маятника відносно осі гойдання, m — його маса, s — відстань від центра мас до осі обертання, L — зведена довжина фізичного маятника.

Масу маятника та період його коливань можна визначити з досить високою точністю. Але зробити це для моменту інерції досить важко. Уникнути цих труднощів допомагає метод оборотного маятника. В ньому замість величини J міряють зведену довжину маятника (5).

Цей метод заснований на тому факті, що період коливань фізичного маятника не зміниться, якщо перечепити його так, що новою точкою підвісу стає колишній центр гойдання. Ця точка знаходиться якраз на відстані, рівній зведеній довжині фізичного маятника від осі гойдання та на одній прямій з віссю гойдання і центром мас.

Рис. 3

Оборотний маятник, застосований у цій роботі, складається із сталевого стержня на якому закріплено два вантажі В₁ і В₂, кожен масою m, та дві опорні призми П₁ та П₂ (рис. 3).

Припустимо, що нам вдалося знайти такі поло­ження вантажів, при яких періоди коливань маятника Т₁ та Т₂ навколо призм П₁ та П₂ співпадають, тобто

(7)

Ця рівність можлива за умови рівності зведених довжин L₁ та L₂. З іншого боку, за теоремою Гюйгенса-Штейнера

(8)

де J₀ — момент інерції маятника відносно осі, що прохо­дить крізь центр мас паралельно до осі гойдання. Ви­клю­чивши з формул (7), (8) J₀ і m, та використовуючи (4) знахо­ди­мо, що

.

(9)

Таким чином, згідно з (6), L = s₁ + s₂. Зверніть увагу, що формулу (9) виведено із формул (7), (8) за умови s₁  s_2, інакше формули (7) та (8) задовольняються тотожньо.

Виводячи формулу (9), ми нехтували різницею між періодами Т₁ та Т₂. Насправді, домогтися того, щоб вказані періоди співпадали неможливо, адже

.

(10)

Звідки маємо

,

Враховуючи це, отримаємо більш точну формулу для

,

(11)

де введено період

(12)

Проаналізуємо межі застосування нашої теорії. Для цього розглянемо похибку

визначення T₀, яка сама залежить від похибок вимірювання періодів та :

.

(13)

При непоганому обладнанні, коли маємо

.

(14)

Зауважимо, що при похибка значно зростає і це відбивається на точності визначення g. Тому значення не повинні бути дуже близькими. З іншого боку, якщо ці величини дуже відрізняються, то, період коливань істотно збільшується, отже, збільшується час спостереження і, відповідно, роль сил тертя. Таким чином, під час виконання експерименту треба слідкувати за тим, щоб ­від­но­шен­ня s₁/s₂ було не дуже великим і не дуже малим, рекомендований інтервал

1,5 < s1/s2 < 3.

(15)