Тема 6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Литература: [1, c.54-62], [2, c.54-58], [3, c. 32-36], [4, с.35-44],[6, с.28-30], [7, с.50-54], [8, с.44-47], [9, с.45-47],[10, с.39-41],[11,с.59-81].

Данные занятия содержат задачи, которые обычно решаются при помощи формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Пусть - наблюдаемые события для данного эксперимента. Причем, система множеств { }образует разбиение множества (полную группу попарно несовместных событий). Кроме того, события имеют ненулевые вероятности. Для любого наблюдаемого в эксперименте события имеет место следующее равенство, называемое формулой полной вероятности: События принято называть гипотезами. Безусловные вероятности трактуются как априорные (доопытные) вероятности гипотез.

Общая схема применения формулы Байеса следующая. Пусть событие может происходить в различных условиях, о характере которых можно выдвинуть гипотез . Из каких-то соображений известны вероятности этих гипотез , , и известны условные вероятности , Предположим, что произведен опыт, в результате которого наступило событие , тогда условные вероятности гипотез (их называют апостериорными или послеопытными) определяются по формуле Байеса:

Примеры решения задач

Задача 1. В составе Думы представлены 3 партии (по 100, 150, 50 человек от 1-й, 2-й и 3-й партий соответственно). Кандидата на должность спикера Думы поддерживают 50% представителей первой партии, 70% - второй партии и 10% - третьей партии. Какова вероятность того, что наудачу выбранный член Думы поддерживает выдвинутую кандидатуру на должность спикера Думы?

Решение: Из условий задачи очевидно, что с рассматриваемым событием A={наудачу выбранный представитель думы поддерживает выдвинутую кандидатуру} тесно связаны три гипотезы: {выбранное лицо представляет первую партию}; {выбранное лицо представляет вторую партию}; {выбранное лицо представляет третью партию}. Вероятности этих гипотез сразу определяются из условия задачи: Условные вероятности события А даны в условии задачи: Вероятность события А вычисляем по формуле полной вероятности: Ответ: 0,7.

Задача 2. Страховая компания разделяет застрахованных по трем классам риска: 1 класс – малый риск, 2 класс – средний, 3 класс – большой риск. Среди всех клиентов компании 50% - первого класса риска, 30% - второго и 20% - третьего. Вероятность наступления страхового случая для первого класса риска равна 0.01, второго – 0.03, третьего – 0.08. Какова вероятность того, что клиент, получивший денежное вознаграждение за период страхования, относится к группе малого риска?

Решение. Пусть событие А означает, что клиент компании получил вознаграждение. Понятно, что событие А может наступить лишь совместно с одним из трех попарно несовместных событий: - клиент относится к первому классу риска; - клиент относится ко второму классу риска; - клиент относится к третьему классу риска. Необходимо определить условную вероятность Из условия задачи известны вероятности гипотез: Известны также условные вероятности: Искомую вероятность вычисляем по формуле Байеса , т.е.

Ответ: 5/19.