Тема 3. Классический способ определения вероятности случайного события

Литература: [1, c. 20-38], [2, c.24-28], [3, c.15-20], [6, c.19-22], [7, c.30--37], [8, c.21-25], [9, с. 13-24], [10, с.15-25],[11,с.21-28].

Занятие предназначено для овладения методами вычисления вероятностей случайных событий, которые связаны со стохастическими экспериментами с конечным числом исходов. Классическое определение вероятности применяется в том случае, когда пространство элементарных событий  состоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновозможны. В этом случае для определения вероятности случайного события А учитывается только количество элементарных случайных событий, составляющих событие А , без учета их качественного различия. Согласно классическому способу определения вероятности случайного события имеем:

здесь - количество исходов, благоприятствующих наступлению события , - число всех исходов, описания которых содержатся в множестве . Основными методами вычисления вероятности случайного события для таких случайных экспериментов являются методы комбинаторики. Используют также свойства вероятности, позволяющие определить вероятность противоположного события, вероятности суммы случайных событий и другие.

Примеры решения задач

Задача 1. В урне белых и черных шаров ( Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение: Для того, чтобы описать пространство элементарных исходов данного эксперимента, пронумеруем все шары. Пусть белые шары имеют номера от 1 до , а черные – номера от до . Множество означает множество всех шаров. Случайный эксперимент заключается в случайном выборе двух элементов из множества G. Тогда элементарный исход эксперимента может быть описан как множество из двух элементов, т.е. , где - номера вынутых шаров. Заметим, что порядок выбора элементов здесь не важен. Все элементарные исходы равновозможны в силу симметрии эксперимента, их общее число равно . Запишем событие А, означающее, что выбраны два белых шара , A= Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно Вероятность события А вычисляется как отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события А к общему числу элементарных исходов, т.е.

Задача 2. В лифт 9-этажного дома входят 3 человека. Найти вероятность того, что все они выйдут на разных этажах.

Решение: Случайный эксперимент заключается в случайном выборе номера этажа для каждого из трех пассажиров лифта. Элементарный исход такого эксперимента может быть описан как вектор с тремя компонентами, где первая компонента означает номер этажа первого человека, вторая – второго, а третья - номер этажа третьего человека. Будем считать, что в начальный момент лифт находится на первом этаже. Тогда естественно предположить, что пассажиры выбирают этажи со второго по девятый. Опишем множество всех элементарных исходов . Запишем формально событие . Посчитаем, сколько различных элементов содержит множество . Их столько, сколько можно составить различных векторов с тремя компонентами, для которых каждая из трех компонент может принимать различные значения из множества {2,3,…9}. Для выбора первой компоненты вектора подходит 8 вариантов, для выбора второй и третьей компонент так же существует по 8 различных вариантов. Таким образом получаем, что искомое количество векторов равно 888, и Аналогично вычисляем количество элементов, содержащихся в множестве A, Искомая вероятность получается равной Ответ: Р(А)=21/320.656.

Задача 3. Игральный кубик подбросили два раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5.

Решение: В данном случайном эксперименте случайно количество очков, выпавших на кубике при каждом броске. Поэтому элементарный исход такого случайного эксперимента может быть описан как вектор с двумя компонентами, где первая и вторая компоненты означают соответственно количество очков, выпавших при первом и втором броске игрального кубика. Все такие исходы будут равновозможными в силу симметрии случайного эксперимента. Опишем множество всех элементарных исходов Множество  содержит различных элементов. Событие А формально запишется следующим образом: . Для вычисления N(A) можно просто перебрать все описания элементарных исходов, содержащиеся в множестве А, а именно , и Ответ:

Замечание: Следует заметить, что если описывать элементарные исходы как неупорядоченные двухэлементные множества, т.е. , то интересующее нас случайное событие можно описать с помощью элементов множества , но в данном случае нельзя использовать классический способ определения вероятностей случайного события, так как элементарные исходы, описания которых содержатся в множестве , не являются равновозможными. Покажем это используя равновозможность исходов, описания которых составляют множество . Рассмотрим два различных элементарных исхода, которым соответствуют элементы и . Для наступления элементарного случайного события { } необходимо и достаточно появление элементарного исхода, описанного элементом Событию { }, соответствуют описания и . Таким образом событиям { } и { } соответствует разное количество равновозможных элементарных случайных событий, описанных элементами множества , следовательно такие случайные события не являются одинаково вероятными.