Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

methodological instructions_electrodynamics_MTD...doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2025

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Примеры решения задач

Пример 1. По двум длинным параллельным проводам текут в противоположных направлениях токи силой . Расстояние между проводами . Определить магнитную индукцию в точке А, удаленной на от первого и от второго провода.

Д ано: ; ; ; ; .

Найти: В.

Решение. Для нахождения магнитной индукции в указанной точке А (рис. 9), определим направление векторов индукции и полей, создаваемых каждым проводником в отдельности. Направление векторов , связано с направлением соответствующих токов правилом правого винта. Согласно принципу суперпозиции полей магнитная индукция в точке А равна векторной сумме магнитных индукций, созданных каждым током в отдельности:

. (1)

Модуль индукции найдем по теореме косинусов:

. (2)

Значения индукций и выражаются соответственно через силу тока и расстояния и от провода до точки, индукцию в которой мы вычисляем:

, . (3)

Угол между отрезками и равен . Поскольку каждый из векторов , перпендикулярен соответствующему отрезку, должно выполняться равенство:

. (4)

По теореме косинусов для отрезков , , имеем

. (5)

Из соотношений (4), (5) следует

. (6)

Подставив в (2) значения , , определяемые по формулам (3), а также из (6), найдем

Подставив числовые значения величин (все они даны в СИ) и произведя вычисление, получим:

О твет: .

Пример 2. По контуру, изображенному на рис. 10, идет ток силой . Определить магнитную индукцию в точке 0, если радиус дуги , .

Дано: контур АВСА; ; ; .

Найти: В.

Решение. В силу принципа суперпозиции полей магнитная индукция в точке 0 равна векторной сумме магнитных индукций, созданных всеми элементами контура с током. Разобьем весь контур на три участка – дугу АВ и прямолинейные отрезки ВС, СА, чтобы для вычисления их магнитных полей можно было воспользоваться формулами для дуги окружности

(1)

и для проводника конечной длины

. (2)

Тогда получим

. (3)

Сначала вычислим модули всех трех слагаемых. Поскольку угол , дуга АВ составляет 1/6 часть окружности, т.е. . Подставив это значение в формулу (1), найдем

. (4)

Далее по формуле (2) определим величину . Из рисунка видно, что углы, входящие в эту формулу, равны: ; . Расстояние от точки 0 до проводника ВС равно . Подставив значения , , в формулу (2), найдем

(5)

Для вычисления магнитной индукции, созданной проводником СА в точке О, формула для проводника конечных размеров оказывается непригодной. Поскольку точка О лежит на продолжении проводника СА, каждый из углов , равен . Следовательно, числитель формулы равен нулю. Нулю равен и знаменатель этой формулы, так как расстояние от точки О до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Обратимся непосредственно к уравнению, выражающему в скалярной форме закон Био-Савара-Лапласа. Для любого элемента проводника СА угол , образованный этим элементом и радиусом-вектором , проведенным от элемента в точку О, равен . Следовательно, . Однако, при этом знаменатель формулы отличен от нуля. Таким образом, для любого элемента проводника СА. Следовательно, весь проводник СА не создает в точке О магнитного поля. Тогда соотношение (3) упростится:

(6)

Определим направление векторов. Поскольку точка О и контур АВС лежат в одной плоскости, то оба вектора и перпендикулярны этой плоскости, что следует из закона Био-Савара-Лапласа, и расположены вдоль одной прямой – нормали к плоскости чертежа, проходящей через точку О. При этом, согласно правилу правого винта, вектор направлен от наблюдателя, вектор – к наблюдателю. Приняв направление вектора за положительное, запишем выражение (6) в скалярной форме

С учетом (4) и (5)

. (7)

Подставим числовые значения в формулу (7) и произведем вычисления:

Ответ: .

П ример 3. Коаксиальный кабель представляет собой длинную металлическую тонкостенную трубку радиусом , вдоль оси которой расположен тонкий провод (рис. 11). Силы токов в трубке и проводе равны, направления противоположны. Определить магнитную индукцию в точках 1 и 2, удаленных соответственно на расстояния и от оси кабеля, если сила тока .

Дано: ; ; ; ; .

Найти: , .

Решение. Симметрия магнитного поля тока коаксиального кабеля позволяет решить задачу, применив теорему о циркуляции вектора индукции магнитного поля:

, (1)

где – угол между векторами .

Действительно, из соображений симметрии следует, что линии индукции магнитного поля тока кабеля, являясь замкнутыми, должны иметь форму окружностей, центры которых лежат на оси кабеля и плоскости которых перпендикулярны этой оси. При этом из тех же соображений симметрии вытекает, что во всех точках одной и той же линии магнитной индукции величина В одинакова. В этом случае для всех элементов контура угол между векторами равен 0, (рис. 11) и уравнение (1) принимает вид:

. (2)

Рассчитаем магнитное поле в точке 1. В качестве контура интегрирования рассмотрим линию магнитной индукции, проходящую через эту точку. Рассматриваемый контур охватывает только тонкий провод с током, поэтому . Учитывая, что длина контура равна , запишем:

откуда

. (3)

Аналогично определим величину в точке 2. Для этого в качестве контура интегрирования возьмем контур , проходящий через точку 2. Контур охватывает токи, текущие и по осевому проводнику и по трубе. Так как они равны по модулю и направлены в разные стороны, то , поэтому уравнение (2) принимает вид:

Таким образом, при (R – радиус трубы).

Полученные результаты позволяют сделать вывод, что магнитное поле тока, текущего по коаксильному кабелю, сосредоточено целиком внутри кабеля, т.е.

Выполним вычисления, предварительно выразив в единицах СИ входящие в формулу (3) величины:

О твет: ; .

Пример 4. В однородном магнитном поле в плоскости перпендикулярной линиям индукции, расположено проволочное полукольцо длиной , по которому течет ток силой (рис. 12). Найти результирующую силу, действующую на полукольцо.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. На каждый элемент проводника с током , помещенного в магнитное поле, действует сила (сила Ампера)

. (1)

Результирующую силу, действующую на весь провод в виде полукольца, найдем путем интегрирования:

, (2)

где индекс l означает, что интегрирование ведется по всей длине полукольца.

Направим ток в проводнике по часовой стрелке и определим направление сил, действующих на элементы тока со стороны магнитного поля, по правилу векторного произведения (или по правилу левой руки). Каждый элемент проводника расположен неодинаковым образом относительно магнитного поля. Силы , действующие на все элементы , направлены по радиусу полукольца и стремятся растянуть его. При переходе от одного элемента к другому направление сил непрерывно изменяется.

Силу можно разложить на составляющие:

, (3)

где , – единичные векторы; и – проекции вектора на координатные оси и .

Для нахождения результирующей силы следует отдельно искать ее проекции на координатные оси:

, , (4)

где , – проекции искомой результирующей силы.

Проекция элементарной силы на ось (рис. 12):

где – модуль силы , – угол между векторами и .

Так как вектор перпендикулярен вектору , то .

Выразив длину дуги через радиус R и угол , на который опирается эта дуга, , получим:

. (5)

Введем (5) под интеграл второго из выражений (4) и проинтегрируем в пределах от до (как это видно из рис. 12), учитывая что :

. (6)

Аналогично найдем проекцию . Так как

то

. (7)

Из полученных выражений (6) и (7) видно, что результирующая сила и направлена по оси :

Выполним вычисления, т.е. найдем модуль результирующей силы:

Ответ: .

Пример 5. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов , влетает в вакууме в однородное магнитное поле с индукцией и начинает двигаться по окружности (рис.13). Вычислить: 1) радиус окружности, описываемой протоном в поле; 2) частоту вращения протона в магнитном поле.

Дано: ; ; ; .

Найти: , .

Решение. Протон попадает в магнитное поле, имея скорость , которую он приобрел, ускоряясь в электрическом поле. Скорость протона задана через ускоряющую разность потенциалов. По закону сохранения и превращения энергии работа сил электрического поля равна изменению кинетической энергии протона:

или

где – работа сил электрического поля по перемещению заряженной частицы (протона) в поле; – ускоряющая разность потенциалов или ускоряющее напряжение ; и – начальная и конечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией и выразив кинетическую энергию через скорость, получим

откуда выразим скорость протона:

. (1)

На влетевший в магнитное поле протон действует сила Лоренца

. (2)

Направление силы Лоренца определяется правилом левой руки (рис. 13). Модуль силы Лоренца, согласно определению векторного произведения, равен

. (3)

Так как сила нормальна к скорости , она изменяет лишь направление вектора скорости, но не его модуль, т.е. сообщает протону нормальное (центростремительное) ускорение . Под действием этой силы протон будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции.

Согласно второму закону Ньютона:

Подставив сюда выражение (3) и , получим

, (4)

где , , – заряд, скорость, масса протона; – радиус кривизны траектории; – угол между направлениями векторов и (в нашем случае , ).

Из формулы (4) выразим радиус окружности, учтя, что :

. (5)

Подставив в формулу (5) выражение для скорости (1), получим ответ 1 задачи в общем виде:

. (6)

Подставим в формулу (6) числовые значения физических величин и выполним вычисления:

Для определения частоты вращения воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом кривизны траектории:

; ; ,

где Т – период вращения.

Подставив из выражения (5) в формулу для частоты, получим

. (7)

Выполним вычисления:

Ответ: ; .

Пример 6. Квадратная рамка площадью , состоящая из витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения G которой равна (постоянная кручения нити, проволоки определяется вращающим моментом, необходимым для закручивания нити, проволоки на угол, равный один градус). Плоскость рамки совпадает с направлением линий индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока она повернулась на угол .

Дано: ; ; ; ; .

Найти: В.

Решение. Индукция В внешнего магнитного поля может быть найдена из условия равновесия рамки в поле. Рамка будет находиться в равновесии, если сумма механических моментов, действующих на нее, будет равно нулю:

. (1)

В данном случае на рамку действуют два момента (рис. 14): – момент сил внешнего магнитного поля и – момент упругих сил, возникающих при закручивании нити, на которой рамка подвешена. Следовательно, формула (1) может быть переписана в виде

. (2)

В проекциях на ось уравнение (2) примет вид:

или . (3)

Знак минус перед моментом ставится потому, что векторы и противоположны по направлению. Выразим векторы и через величины, от которых зависят эти моменты сил:

; .

Или в скалярной форме:

; , (4)

где – магнитный момент рамки с током, модуль которого равен (здесь учтено, что векторы магнитных моментов от всех витков рамки направлены в одну сторону, перпендикулярную плоскости рамки, т.е. по нормали к ней) – угол между векторами и ; – угол поворота рамки при пропускании по рамке тока .

Соотношения (4) подставим в уравнение (3), откуда выразим В:

. (5)

Из рис. 14. видно, что , значит . С учетом этого формула (5) примет вид:

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

Пример 7. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток , расположена квадратная рамка со стороной . Рамка расположена так, что ближайшая к проводу сторона параллельна ему и находится от провода на расстоянии, равном стороне рамки (рис.15). Определить магнитный поток , пронизывающий рамку.

Дано: ; .

Найти: .

Решение. Магнитный поток через поверхность площадью S определяется в общем случае по формуле

. (1)

В нашем случае вектор магнитной индукции перпендикулярен площади рамки, поэтому для всех участков рамки угол между нормалью к рамке и вектором равен нулю . Магнитная индукция В, создаваемая бесконечно длинным прямым проводом с током, определяется формулой

где – расстояние от провода до точки, в которой определяется В.

Так как В зависит от , то площадь рамки разбиваем на узкие элементарные полоски площадью (рис. 15). В пределах такой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены на расстояние от провода.

С учетом сделанных замечаний элементарный поток запишем в виде:

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от до , получим поток через всю рамку:

. (2)

Проведем вычисления по формуле (2):

Ответ: .

Пример 8. Внутри длинного соленоида находится плоская прямоугольная катушка из N витков с площадью поперечного сечения S. Катушка поворачивается с постоянной угловой скоростью вокруг оси , перпендикулярной оси соленоида (рис.16). При этом магнитное поле в соленоиде меняется во времени как . Найти э.д.с. индукции в катушке, если в момент ось катушки совпадала с осью соленоида.

Дано: ; N, S, .

Найти: (э.д.с).

Решение. Мгновенное значение э.д.с. индукции определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:

, 1)

где – полный магнитный поток (потокосцепление).

В нашем случае полный магнитный поток – это поток через катушку, он равен сумме магнитных потоков, пронизывающих каждый виток катушки:

, (2)

где – магнитный поток через один виток катушки (магнитные потоки, охватываемые каждым витком, одинаковы), – число витков катушки.

При вращении катушки магнитный поток изменяется по закону

, (3)

г де В – магнитная индукция; S – площадь поперечного сечения катушки;

– угол между вектором нормали к плоскости витка и вектором магнитной индукции (рис. 16).

Катушка находится в магнитном поле соленоида, индукция магнитного поля которого меняется согласно условию задачи по закону

. (4)

С учетом соотношений (3) и (4) в момент полный магнитный поток сквозь катушку

. (5)

Продифференцировав по времени уравнение для полного магнитного потока (5), найдем мгновенное значение э.д.с. индукции в общем виде:

Ответ: .

Пример 9. Соленоид с индуктивностью и сопротивлением замыкается на источник с э.д.с. , внутреннее сопротивление которого ничтожно мало. Какой заряд пройдет через соленоид за первые после замыкания?

Дано: ; ; ; .

Найти: q.

Решение. При замыкании цепи ток в ней начнет нарастать и возникнет э.д.с. самоиндукции, противодействующая этому нарастанию. Возникший переменный ток – экстраток замыкания нарастает по закону

где – установившийся ток ; – э.д.с. источника, внутреннее сопротивление которого ; – время, прошедшее после замыкания.

Для расчета заряда, который пройдет через соленоид, применим метод дифференциального исчисления, так как в цепи соленоида идет переменный ток, мгновенное значение которого по определению:

Разделим промежуток времени на столь малые интервалы , чтобы в пределах каждого такого интервала времени силу тока можно считать приблизительно постоянной. Тогда элементарно малое количество заряда , которое пройдет через соленоид за этот промежуток времени :

Интегрируя по времени (пределы интегрирования от до данного момента ), находим заряд, прошедший через соленоид за время :

. (1)

Учитывая, что , получим:

. (2)

Проведем вычисления по формуле (2):

Ответ: .

Пример 10. По обмотке длинного соленоида с железным сердечником течет ток (рис.17). Витки провода диаметром с весьма тонкой изоляцией плотно прилегают друг к другу. Определить индуктивность соленоида при данных условиях, а также энергию магнитного поля в сердечнике, если площадь его поперечного сечения , а длина соленоида .