Подпространство

1. Определение.

- векторное пространство над , . - подпространство, если выполнено .

Замечание. - подпространство относительно тех же операций, что и .

2. Линейная оболочка.

Пусть , тогда линейной оболочкой этих векторов называется множество всех их линейных комбинаций. .

Теорема. Линейная оболочка совпадает с наименьшим подпространством в , содержащим эти вектора.

Действительно, из определения прямо следует, что - подпространство в . С другой стороны, любое подпространство, которого содержит вектора будет содержать и всевозможные их комбинации, т.е. . Значит - наименьшее подпространство, содержащее .

3. Сумма и пересечение двух подпространств.

Пусть и - подпространства в . Суммой этих подпространств будем называть множество .

Лемма. и - подпространства.

Проверить по определению все свойства.

Теорема. Пусть - подпространства в , тогда

1. Если - подпространство, то или

2. если , то .

Доказательство.

1. Пусть и , т.е. Но тогда не принадлежит ни (иначе ), ни (иначе ). Значит - не подпространство. Противоречие.

2. Дано, что . Пусть . Тогда

Но тогда и так как . Обратное включение выполняется вообще Действительно, пусть . Тогда . С другой стороны,

Размерность суммы и пересечения.

Пусть .

Теорема.

Пусть - базис Тогда существуют дополнения его до базисов и , т.е. - базис и - базис . Докажем, что набор - базис суммы . Пусть . Обозначим за u сумму огда u – линейная комбинация векторов из , и в то же время она лежит в (так как выражается через базис подпространства ). То есть , но ведь - линейно-независимая система! Значит . Линейная независимость доказана. Разложимость любого вектора по этому базису очевидна. = число векторов в этом базисе = .

4. Прямая сумма подпространств.

Пусть даны подпространства и .

называется прямой суммой этих подпространств (обозначается ), если .

Теорема. Сумма - прямая .

Пусть Тогда Но получается - два разложения нуля! Значит .

Пусть все пересечения тривиальны (т.е. это лишь 0). Пусть и, например, , то есть пусть разложение вектора не единственно. Тогда , противоречие (пересечение содержит ненулевой элемент).

Линейные и сопряженные пространства

Пусть - векторное пространство над и

- линейная функция, если .

Ядром функции называется подмножество , на каждом элементе которого функция равна 0: . Ядро – подпространство в . Также если - линейные функции, то и их линейные комбинации с коэффициентами из также линейны.

Сопряженное (дуальное) пространство - множество всех линейных форм (функций).

Теорема. Пусть - конечномерное векторное пространство. Тогда .

Выделим базис в и рассмотрим . Т.е. значение равно символу Кронекера .

1) - линейная функция.

2) - линейно независимы. Пусть и . Но . Противоречие.

3) - базис. Действительно, рассмотрим произвольную функцию и обозначим Тогда , т.е. .

12.02.05