Линейные отображения и операторы
1. Линейные отображения.
Пусть и --- векторные пространства над .
Опр. Функция
называется линейным отображением,
если
.
Ядро:
--- подпространство в
.
Образ:
---
подпространство в
.
Опр.
- множество всех линейных отображений
.
Если мы знаем значение отображения на базисе, мы можем найти значение отображения на любом элементе по линейности.
2. Задание линейных отображений матрицами.
---
базис
,
--- базис
.
.
Тогда
.
Опр.
--- матрица отображения
в
базисах
,
.
Пусть
(т.к. разложение по базису в пространстве
определено однозначно)
или
(столбцы).
Теорема. При фиксированных базисах
в
и
существует взаимо однозначное
соответствие между линейными отображениями
из этого множества
и
матрицами
х
.
Введём обозначение
матрицы},
.
1) Сюръективность
:
если взять матрицу
, то для неё можно подобрать соответствующее
линейное отображение:
. Зададим
на базисе
:
.
2) Инъективность. Пусть
и
.
Тогда матрица разности отображений
Опр. Если
и
конечномерны, то ранг
это
размерность образа,
.
Теорема.
Пусть
--- базис
.
Тогда
Столбцы
матрицы
линейного отображения
линейно
независимы, это означает, что
линейно независимы в
.
Теорема.
Опять
же фиксируем базис: пусть
--- базис
,
--- базис
,
--- матрица
в этих базисах.
.
Через
обозначим
.
Тогда
(а)
- решение системы линейных уравнений
.
(б)
(предыдущая теорема) =
.
Следовательно,
Следствие 1. Следующие условия, наложенные на , эквивалентны:
1)
инъективно,
2)
,
3)
.
Следствие
2. Пусть
,
.
Тогда
.
1)
Если
,
то
.
(
).
2)
Пусть теперь ядро = 0.
.
Тогда
инъективно (по предыдущему следствию
1 ) и образ =
,
следовательно
-
образ отображения
.
Замечание.
Линейность
Тогда
линейна.
14.02.05
3. Линейные операторы.
Пусть
V=W. Тогда
– множество линейных операторов на V
(т.е.
линейных отображений
)
Если
и
линейные операторы на V,
– скаляр, то
То
есть
– алгебра линейных операторов.
Линейная алгебра
(а) - векторное пространство над
(б) - векторное кольцо (относительно сложения и умножения)
(в)
Другое
обозначение:
=
Алгебра
изоморфна алгебре матриц
,
где
.
4. Матрица линейного оператора.
Пусть
– базис пространства V, и
.
Опр.
Если
,
то
матрица
в базисе
(j-й
столбец А – координаты вектора
в базисе
)
5. Переход к другому базису.
Пусть
и
- два базиса V,
,
A – матрица
в базисе
,
B – матрица
в базисе
,
Пусть С – матрица переход
а
от
к
,
т.е.
Теорема.
Посчитаем
двумя способами:
1)
2)
Отсюда
,
т.е.
,
значит СВ=АС, т.к. С – невырождена, то
6. Определитель и след линейного оператора.
Предложение. Определитель и след матрицы линейного оператора не зависят от выбора базиса.
7. Определение.
Оператор
– невырожденный, если det A
0.
Критерий
невырожденности
– невырожденный
Ker
=
0
Im
= V
rank A =
dim V
8. Инвариантные подпространства.
Пусть
– линейный оператор на V и
.
Опр.
U называется инвариантным
подпространством для
,
если
(т.е.
)
Пусть
– базис U, k≤n.
Дополним его до базиса V
.
Тогда
,
причем 
,
т.е. матрица А имеет в базисе
вид
.
Если
и
,
,
то существует базис V, в котором
.
9. Собственные векторы, собственные значения.
Опр.
– собственный вектор оператора
,
если существует скаляр
такой, что
;
тогда
– собственное значение.
Свойство.
V – собственный вектор
– инвариантное подпространство.
Теорема.
Число
является собственным значением оператора
тогда и только тогда, когда
,
где Е – тождественный оператор на V.
(то есть для любого х
E(х) = х)
Пусть v – собственный вектор,
.
Зафиксируем базис
в V. Если Х – столбец координат v
в этом базисе, то
(где А – матрица 
в
)
,
где Е – единичная матрица. Следовательно,
если собственное значение равно
,
то
(Примечание: не стоит путать обозначения A и A (хотя они и очень похожи.). Курсивом обозначен оператор, а обычным шрифтом --- матрица. Также E --- это тождественный оператор, а Е --- это единичная матрица.)
2) Пусть
,
тогда
(А, Е – матрицы
,
Е в базисе
)
система
имеет ненулевое решение
вектор
– собственный,