2.2.2. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси

Вращательным движением тела вокруг оси будем называть такое движение, при котором некоторая прямая, принадлежащая телу,  ось вращения  остаётся неподвижной, а все точки тела движутся по окружностям с центрами в основаниях перпендикуляров, опущенных из этих точек на ось вращения (рис. 2.12).

Н а рисунке АВ  ось вращения,  радиусы окружностей, по которым движутся произвольные точки тела C и D. Возможность такого движения обеспечивается опорами: А  подпятник, В  подшипник, по-другому ещё можно назвать А  радиально-упорный подшипник, В  радиальный подшипник. Тело при этом движении имеет одну степень свободы. Следовательно, для задания его движения необходимо иметь один независимый параметр, в качестве которого выбирают угол поворота .

Покажем это на рис. 2.13. Пусть – неподвижная система координат, ось направлена по оси вращения тела. Жестко с телом свяжем систему координат Axyz. В начальный момент времени эти системы совпадают, а через некоторый промежуток времени они отклоняются и их взаимное положение определяется углом, являющимся функцией времени,

. (2.27)

Для того чтобы угол поворота однозначно определял положение тела, необходимо условиться относительно положительного направления отсчёта этого угла. Угол  положительный, если вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси .

З ависимость (2.27) есть уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твёрдого тела являются угловая скорость и угловое ускорение, определим их.

Предположим, что за промежуток времени угол поворота получил приращение . Тогда средняя угловая скорость определяется равенством

Угловую скорость в данный момент времени можно определить посредством предельного перехода

. (2.28)

Угловая скорость равна первой производной от угла поворота по времени. Единицей измерения угловой скорости является рад/с. Так как угол поворота является алгебраической величиной, то и угловая скорость также является алгебраической величиной, модуль которой

.

В технике при вращении тела используется число оборотов в минуту. Зависимость между угловой скоростью и числом оборотов в минуту n определяется как

[рад/с].

Предполагаем, что за промежуток времени угловая скорость получила приращение . Тогда среднее угловое ускорение определяется как

Угловое ускорение в данный момент времени определяется как предел

, (2.29)

так как

Угловое ускорение равно производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота. Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Единица измерения углового ускорения  рад/с. Здесь определили угловую скорость и угловое ускорение как скалярные величины. В дальнейшем введём их как векторные величины.

2.2.3. Равнопеременное вращение твёрдого тела

Если угловая скорость постоянна, то вращение тела  равномерное. Здесь рассмотрим случай, когда постоянным является угловое ускорение, то есть . Такое вращение называется равнопеременным, причём если , вращение равноускоренное, а если – равнозамедленное. Исходя из формулы (2.29), определяем .

Интегрируем левую и правую части, взяв начальные условия: время изменяется от нуля до t, а угловая скорость – от до :

,

в результате чего имеем

(2.30)

– закон изменения угловой скорости при равнопеременном вращении. Используя формулу (2.28), аналогичным образом находим закон изменения угла во времени:

(2.31)

где  начальное значение угла.