2.2.4. Векторы угловой скорости и углового ускорения

Для изучения кинематики твёрдого тела полезным является введение векторов угловой скорости и углового ускорения.

Вектором угловой скорости твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется вектор, модуль которого равен абсолютному значению производной угла поворота тела по времени, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 2.14).

Используя единичный вектор , запишем вектор угловой скорости

. (2.32)

Вектором углового ускорения является вектор, равный производной по времени от вектора угловой скорости, то есть

. (2.33)

Отсюда видно, что вектор углового ускорения направлен, как и вектор , вдоль оси вращения (см. рис. 2.15, а и рис. 2.15, б).

На рис. 2.15, а показано ускоренное вращение, а на рис. 2.15, б  замедленное.

2.2.5. Определение скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Рассматриваем вращение тела вокруг неподвижной оси (рис. 2.16).

Б ерём неподвижную точку тела , траекторией движения которой является окружность радиуса с центром О на оси вращения .

Для наглядности показано отдельно сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси и проходящей через точку М, где  угол поворота тела,  дуга окружности, по которой рассматриваемая точка переместилась из начального положения в положение М (см.рис. 2.17).

Докажем, что скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется как векторное произведение:

. (2.34)

Если векторное произведение имеет направление такое же, как и вектор скорости точки, а его модуль равен модулю вектора скорости, то выражение (2.34) справедливо. Известно, что векторное произведение  это вектор, направленный перпендикулярно плоскости, п роходящей через векторы-сомножители, в нашем случае плоскости, содержащей векторы и , в ту сторону, откуда вращение по кратчайшему расстоянию первого вектора ко второму видно происходящим против хода часовой стрелки.

Таким образом, рассматриваемый вектор направлен по касательной к траектории движения точки в сторону движения, то есть совпадает по направлению с вектором скорости. Остаётся доказать, что их модули равны.

Модуль

. (2.35)

Скорость точки (2.34) определяется как производная по времени

,

где  дуга.

Как видно из рис. 2.17, дуга окружности

,

тогда

и модуль скорости

,

что совпадает с модулем векторного произведения (2.35).

Таким образом, соотношение (2.34) доказано.

Для наглядности от пространственного изображения перейдём к плоскому (рис. 2.18), то есть рассмотрим сечение (диск) тела плоскостью, перпендикулярной к оси вращения и содержащей точку М.

Определим скорости точек М, А, В, С:

;

;

;

.

Как видно, модуль скорости любой точки тела равен произведению модуля угловой скорости на расстояние от точки до оси вращения, то есть пропорционален радиусу окружности, по которой движется точка.

Направлен вектор скорости по касательной к этой окружности в сторону движения, то есть перпендикулярно к радиусу. Для определения ускорения точки М возьмём производную скорости по времени

здесь  угловое ускорение,  скорость точки М. С учётом этого

. (2.36)

Из выражения (2.36) видно, что ускорение точки состоит из двух составляющих: первая  вращательное ускорение , вторая  осестремительное ускорение . При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси их можно называть касательным и нормальным ускорениями соответственно.

Вращательное ускорение направлено по касательной, и его модуль равен . Осестремительное ускорение направлено от точки к оси вращения, то есть по нормали к траектории, модуль определяется как

.

Таким образом,

, (2.37)

а модуль полного ускорения точки М будет

, (2.38)

так как составляющие ускорения перпендикулярны друг другу.

Пример. По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также вращательное, осестремительное и полное ускорения точки М в указанный момент времени (см. рис. 2.19).

Дано: x = 50 (см), =20 см, =40 см, =15 см, =40 см, t = 0,5 с.

Решение. Определяем скорость первого тела:

;

при t = 0,5 c, см/с его ускорение

cм/с

и не зависит от t.

Рассматриваем точку В, точку соприкосновения нити с колесом. Скорость точки В см/с, вращательное ускорение точки В равно cм/с , так как нить нерастяжимая. Отсюда находим угловую скорость барабана 2:

и его угловое ускорение

Зная угловую скорость и угловое ускорение , определяем скорость точки С:

и ее вращательное ускорение

.

Так как нить нерастяжимая, то аналогичные значения имеет скорость точки D и её вращательное ускорение:

;

.

Имея эти значения, находим угловую скорость колеса 3 и угловое ускорение :

;

.

Скорость точки М равна

и направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения колеса 3.

Вращательное ускорение точки М

и направлено по вектору скорости , так как рассматриваемое вращение колёс – ускоренное.

Осестремительное ускорение точки М

и направлено по радиусу к центру колеса .

Полное ускорение

.

Для указанного момента времени

см/с;

см/с²;

см/с²;

см/с².