1. Построение эпюр внутренних усилий

Внутренние усилия в поперечных сечениях стержней определяются с использованием метода сечений. При этом возникает необходимость в определении реакций опор.

Для определения реакций опор удаляются связи, наложенные на стержень или стержневую систему, их действие заменяется усилиями, называемыми реакциями. Количество реакций опоры определяется ее типом. Для пространственной стержневой системы реакции опор вместе с внешними нагрузками образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Для такой системы можно составить шесть уравнений равновесия:

- уравнения проекций реакций опор и внешних нагрузок на оси координат

; (1)

- уравнения моментов относительно осей координат

. (2)

Плоскость, в которой действует внешняя нагрузка, называется силовой. Если внешняя нагрузка представляет собой сосредоточенную силу, под силовой плоскостью понимают плоскость, содержащую вектор силы и осевую линию стержня.

Если осевые линии стержней системы лежат в одной плоскости и в этой же плоскости приложены внешние нагрузки, система называется плоской. Реакции опор плоской системы вместе с внешней нагрузкой образуют систему сил, произвольно расположенных в плоскости. Будем предполагать, что ось z перпендикулярна плоскости системы. Тогда можно записать три уравнения равновесия:

. (3)

Возможна и другая система уравнений равновесия. Так, для балки, показанной на рис. 1, удобно воспользоваться уравнениями

;

;

.

При определении реакций опор распределенную нагрузку можно заменять ее равнодействующей.

Д ля проверки правильности определения реакций опор используются уравнения равновесия, в которые входят вычисленные реакции. Так, для рассматриваемого примера сумма проекций должна равняться нулю.

Применение метода сечений при определении внутренних усилий в поперечных сечениях стержней предполагает следующие операции.

Стержень или стержневая система с помощью нормального к осевой линии рассекаемого стержня сечения m (рис. 2а) делится на две части. Одна из частей выбирается в качестве объекта равновесия. На рис. 2б в качестве объекта равновесия показана часть А бруса. Выбирается система координат с началом в центре тяжести поперечного сечения стержня. Оси x и y располагаются в плоскости поперечного сечения, а ось z проходит вдоль осевой линии стержня или по касательной к ней, если стержень имеет криволинейную осевую линию. В поперечном сечении стержня пространственной системы возникает шесть внутренних усилий: нормальная сила N, поперечные силы Q_x и Q_y, изгибающие моменты M_x, M_y и крутящий момент M_k. По отношению к выбранному объекту равновесия они являются внешними нагрузками. Реакции связей, наложенные на объект равновесия, внешние нагрузки и внутренние усилия образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Для нее записываются уравнения равновесия (1) и (2), из которых определяются внутренние усилия.

У добной для анализа формой представления характера распределения внутренних усилий являются эпюры. Эпюра представляет собой график закона изменения внутреннего усилия по длине стержня.

П ри записи выражений для внутренних усилий вводятся правила знаков. Нормальная сила считается положительной, если её вектор направлен вдоль внешней нормали от сечения стержня (рис.3а). Из уравнения равновесия вытекает правило определения её величины. Нормальная сила в поперечном сечении стержня равна по величине сумме проекций на ось z всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. При этом в качестве внешних сил рассматриваются и реакции связей, наложенные на выбранную в качестве объекта равновесия часть стержня или стержневой системы. Если внешняя нагрузка вызывает растяжение рассматриваемого участка стержня, в выражение для N она входит со знаком плюс.

Крутящий момент считается положительным, если он стремится вращать отсеченную часть стержня против хода часовой стрелки при наблюдении со стороны внешней нормали к сечению (рис. 3б). Крутящий момент в поперечном сечении стержня равен по величине сумме моментов относительно оси z всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. Если внешняя нагрузка стремится вращать отсеченную часть стержня против хода часовой стрелки при наблюдении со стороны внешней нормали к сечению, расположенному в начале участка стержня, в выражение для M_k она входит со знаком плюс.

Эпюры строят на базовых линиях, параллельных осевым линиям стержней, либо воспроизводящих осевые линии для стержней с криволинейными осями. Эпюры нормальных сил и крутящих моментов строят в произвольных плоскостях, снабжая их знаками.

Стержень, подверженный поперечному изгибу, называется балкой. Для балки строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

П оперечную силу считают положительной, если она стремится вращать отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки (рис. 4а). При этом подразумевается, что центр тяжести сечения, расположенного в начале участка стержня, неподвижен. Поперечная сила в сечении балки равна по величине сумме проекций на ось у всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

Если внешняя нагрузка стремится вращать отсеченную часть стержня по ходу часовой стрелки, в выражение для Q она входит со знаком плюс.

Изгибающий момент в сечении балки считается положительным, если он вызывает сжатие верхних волокон (рис. 4а). При этом сечение, расположенное в начале участка, считают условно защемленным. Изгибающий момент в поперечном сечении балки равен по величине сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. Если внешняя нагрузка изгибает участок балки так, что вызывает сжатие верхних волокон при условно защемленном сечении, для которого определяется изгибающий момент, в выражение для М она входит со знаком плюс.

Эпюры изгибающих моментов строят на сжатых волокнах и не снабжают знаками.

Для пространственных систем один из вариантов выбора правила знаков изгибающих моментов показан на рис. 4б. В качестве положительных приняты моменты, вызывающие сжатие верхнего, расположенного справа либо ближнего к наблюдателю волокна стержня.

Построение эпюр внутренних усилий ведется в следующем порядке:

- определяются реакции опор, если это необходимо;

- стержневая система или стержень делятся на участки по силовому и геометрическому признакам, границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные внешние нагрузки либо меняются законы распределенных нагрузок, а также узловые точки стержневой системы;

- для каждого участка применяется метод сечений, стержень рассекается по произвольному сечению, положение которого чаще всего определяется координатой z_i в локальной системе отсчета, начало которой выбирается в начале участка, записываются выражения для внутренних усилий;

- по полученным выражениям для внутренних усилий строятся эпюры, если закон изменения внутреннего усилия линейный, эпюра строится по двум значениям, найденным для начала и конца участка, если закон изменения нелинейный, кроме этих двух значений, находится экстремальное.

Задание Э-1

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для однопролетной балки. Расчетные схемы балок приведены в табл. 1.

Принять b = 2a, P = qa, M = qa²/2.

Пример 1

Построить эпюры внутренних усилий Q и M для однопролетной балки с консолью (рис. 5а). К балке приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, сосредоточенная сила P = qa/2 и момент M = qa²/2.

Решение

1. Определим реакции опор.

Освободим балку от связей и заменим их действие реакциями (рис. 5б).

Реакция Z_A равна нулю, в связи с тем, что сумма проекций внешних сил на ось z равна нулю.

Составим уравнения равновесия:

− сумма моментов всех сил относительно точки А

;

,

откуда ,

− сумма моментов относительно точки B

, ,

откуда .

Для проверки используем уравнение

.

2. Разделим балку на три участка.

3. Применим метод сечений для каждого из участков и запишем выражения для внутренних усилий

;

.

Поперечная сила постоянна по величине на первом участке, ее эпюра представляется прямоугольником. Изгибающий момент меняется по линейному закону, поэтому эпюра может быть построена

по двум значениям:

, .

Внутренние усилия на втором участке равны

;

.

Эпюру Q построим по двум значениям на границах участка:

, .

Для построения эпюры М недостаточно двух значений:

, .

Кроме них определим экстремальное. Для определения положения сечения, где наблюдается экстремум, приравняем нулю:

,

откуда .

Подставив координату этого сечения в уравнение момента ,

получим

.

Для третьего участка

, .

Эпюра Q на третьем участке имеет вид прямоугольника, а эпюра моментов строится по двум значениям:

; .

Для проверки правильности полученных эпюр могут быть использованы следствия из дифференциальных зависимостей между q, Q и M. На участках I и III, где не приложена распределенная нагрузка, эпюры Q имеют вид прямоугольников, а эпюры М представлены наклонными прямыми. На участке II, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра Q представлена наклонной прямой, а эпюра М − квадратичной параболой, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. На участках, где Q > 0, момент возрастает, т.е. ординаты увеличиваются слева направо, где Q < 0 – момент убывает. В сечении, где приложена сосредоточенная сила – реакция Y_B, на эпюре Q наблюдается скачок на величину этой силы, а на эпюре М – излом, острием направленный навстречу силе.

Задание Э-2

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки с шарниром. Расчетные схемы балок приведены в табл. 2.

Принять следующие соотношения между длинами участков балок и внешними нагрузками b = 2a, P = qa/2, M = qa².

Пример 2

Построить эпюры внутренних усилий для балки с шарниром (рис. 6а), к которой приложены равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q и сосредоточенная сила P = qa.

Решение

1 . Определим реакцию опоры В и усилие взаимодействия двух частей балки в шарнире С.

Разделим балку на две части по шарниру С, отбросим связь в опоре В и заменим ее реакцией Y_B . К обеим частям приложим усилие взаимодействия в шарнире С (рис. 6б).

Для правой части балки составим уравнение равновесия сил

; ,

откуда .

Из уравнения

;

получим .

2. Разделим обе части балки на участки и получим выражения для внутренних усилий

, ;

, .

Эпюры для правой части балки имеют линейный характер и легко строятся по двум значениям на каждом участке.

Для третьего участка получим более сложные зависимости

;

.

Поперечная сила меняет знак в пределах третьего участка

, ,

следовательно, изгибающий момент имеет экстремум в сечении, где она равна нулю:

, ,

.

В начале и конце этого участка изгибающий момент

, .

Выражения для внутренних усилий на четвертом участке могут быть записаны без определения реакций опоры А с учетом нагрузок, расположенных справа от сечения:

;

.

Эпюру моментов на этом участке построим по двум значениям:

; .

Как и в примере 1, проверка правильности построения эпюр может быть выполнена с использованием следствий из дифференциальных зависимостей. Следует обратить внимание на то, что изгибающий момент на шарнире С должен равняться нулю.

Задание Э-3

Построить эпюры нормальных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы. Расчетные схемы приведены в табл. 3.

Принять следующие соотношения между длинами участков рамы и внешними нагрузками l = 2a, b = a, P = qa, M = qa²/2.

Пример 3

Построить эпюры внутренних усилий для плоской рамы, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q и сосредоточенной силой P = qa (рис. 7а).

Решение

1. Определим реакции опор.

Отбросим связи, наложенные на раму в опорах А и В, заменим их действие реакциями и составим уравнения равновесия сил

;

;

,

откуда

.

Для проверки правильности определения реакций воспользуемся уравнением

.

2. Разделим раму на четыре участка по силовым и кинематическим признакам, применим для каждого из них метод сечений, запишем аналитические выражения для внутренних усилий.

В сечениях первого участка

, , .

В сечении, координата которого равна , все внутренние усилия равны нулю. Для построения эпюр поперечной силы и изгибающего момента используем значения

, .

Для второго участка

; ;

.

Для построения эпюры поперечных сил вычислим два значения:

, .

Эпюра пересекает нулевую линию в сечении с координатой .

Изгибающий момент в этом сечении экстремален и равен

.

Для построения эпюры изгибающих моментов необходимо вычислить еще два значения:

, .

Эпюры внутренних усилий на участках III и IV строятся с использованием зависимостей

, , ;

, ;

.

Вырезав узлы С и D (рис. 7б) и приложив к ним изгибающие моменты, возникающие в прилегающих к узлам сечениях стержней, убеждаемся, что их суммы равны нулю, эпюра изгибающих моментов построена верно.

Задание Э-4

Построить эпюры нормальных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы с шарниром. Расчетные схемы рам приведены в табл. 4. Принять l = 2a, b = a, P = qa, M = qa².