Задание э-6

Построить эпюры нормальных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы, состоящей из стержней с прямолинейными и криволинейными осями. Варианты расчетных схем рам приведены в табл. 6. Принять P = qa/2, M = qa².

Пример 6

Построить эпюры внутренних усилий для плоской рамы, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q и сосредоточенной силой P = ql (рис. 10).

Решение

1. Определим реакции опор. Отбросим связи в опорах А и В, заменив их действие реакциями, и составим уравнения равновесия сил, действующих на раму:

;

;

,

откуда

Для проверки правильности определения реакций используем уравнение

2. Разделим раму на три участка, два из которых II-й и III-й – с криволинейной осевой линией.

Применим метод сечений для первого участка и запишем аналитические выражения для внутренних усилий

Эпюру поперечных сил построим, вычислив два значения:

Для определения экстремального значения изгибающего момента нам понадобится координата сечения, где поперечная сила равна нулю:

Для построения эпюры изгибающих моментов вычислим три значения:

;

Внутренние усилия на втором участке в сечении с угловой координатой определим, перенеся в это сечение реакцию Y_B и равнодействующую распределенной нагрузки 2qa и раскладывая их на составляющие по осям x и z

;

.

Все внутренние усилия выражаются через простые тригонометрические функции и их эпюры строятся по значениям

Аналогично получаем выражения для внутренних усилий на третьем участке, перенося в сечение с угловой координатой реакции X_A и Y_A:

Получаем более сложные выражения для внутренних усилий. Они требуют более тщательного анализа. Кроме двух значений нормальной силы

,

потребуется вычислить экстремальное значение

,

Для построения эпюры поперечных сил достаточно двух значений:

Изгибающий момент на третьем участке имеет экстремум в том же сечении с координатой где и нормальная сила:

Для построения эпюры изгибающих моментов используем еще два значения:

В сечении, где приложена сосредоточенная сила qa, на эпюре поперечных сил наблюдается скачок на ее величину, а на эпюре изгибающих моментов – перелом, направленный острием навстречу силе.

Задание э-7

Построить эпюры нормальных сил, изгибающих и крутящих моментов для пространственной стержневой системы, образованной стержнями с прямолинейными осями. Варианты расчетных схем стержневых систем приведены в табл. 7.

Принять l = 2a, b = a, P = qa, M = qa².

Пример 7

Построить эпюры внутренних усилий N, M_и, M_k для пространственной стержневой системы, схема нагружения которой показана на рис. 11. P = qa.

Решение

1. Разделим стержневую систему на четыре участка.

2. Применим метод сечений для первого участка.

С поперечным сечением стержня, расположенным на расстоянии z₁ от начала участка, свяжем подвижную систему координат xОy. Тогда изгибающие моменты в сечении равны моментам силы P относительно осей x и y, а крутящий – моменту силы P относительно оси z. Очевидно,

Эпюра последнего момента строится по двум значениям:

Определим усилия на втором участке от силы P:

Эта сила параллельна оси x , поэтому момент

Д ля определения плеча силы P относительно оси y можно использовать вспомогательную проекцию, на которой ось y проектировалась бы в точку (рис. 12а). Тогда задачу определения плеча силы относительно оси удается свести к задаче определения плеча силы относительно точки, и момент равен

.

Поступая аналогично и используя другую проекцию, на которой ось z проектируется в точку (рис. 12б), определяем крутящий момент

Эпюра изгибающих моментов строится по двум значениям:

Крутящий момент постоянный на втором участке.

На третьем участке отличен от нуля только изгибающий момент M_x :

Его эпюра очерчивается квадратичной параболой, проходящей через точки

На четвертом участке все рассматриваемые усилия отличны от нуля:

Все внутренние усилия на четвертом участке постоянны по величине, кроме изгибающего момента М_x. Его эпюру построим по двум значениям:

Эпюры изгибающих моментов M_x и M_y показаны на рис.11 под названием M_и.