Практическая работа № 4.

Основы дискретного преобразования Лапласа и связь дискретного и непрерывного преобразований Лапласа

Дискретным преобразованием Лапласа называется преобразование решетчатой функции f кТ в функцию F*(p) комплексного переменного р, определяемого соотношением:

, (1)

где

; fkT- решетчатая функция (оригинал); F*(p)-изображение

Для обозначения операции дискретного преобразования Лапласа используется символ D:

.

Дискретное преобразование Лапласа можно трактовать как обычное преобразование непрерывной функции f (t), модулирующей периодическую последовательность -функций:

.

Обозначим результат этой модуляции через f_T (t):

Тогда:

Пример

Найти изображение соответствующее изображению по Лапласу: .

Решение:

-полюс .

Наряду с прямым дискретным преобразование при анализе цифровых систем управления широкое применение находит и обратное дискретное преобразование Лапласа определяемое формулой:

, (2)

где -абсцисса абсолютной сходимости оригинала 

Замена преобразует отрезок интегрирования в плоскости “P” в окружность плоскости “Z” При этом выражение (2) трансформируется в формулу обращения Z-преобразования:

(3)

где: .

Пояснения:

Выражения (2), (3) достаточно сложные и непосредственно применяются редко, тк существуют более простые способы вычисления решетчатых функций

Применяя для вычисления контурного интеграла (3) теорию вычетов, получим:

(4)

где -особые точки подынтегрального выражения Обычно F(z)-дробно-рациональная функция, и тогда выражение (4) может быть доведено до конечных зависимостей:

; ; .

Обратное Z-преобразование можно вычислять также и методом степенных рядов Запишем формулу Z-преобразования в виде:

Тогда вычисление обратного Z-преобразования сводится к определению коэффициентов разложения F(z) в ряд Лорана

Пример: Задано , найти образующую решетчатую функцию.

Р ешение получим делением многочлена на многочлен:

Таким образом, ; и, соответственно,

Другой вариант решения заключается в применении теории вычетов:

Преимущество метода степенных рядов заключается в том, что при этом не требуется находить полюса F(z) Если F(z)-дробно-рациональная функция, то значения находятся делением полинома числителя на полином знаменателя(см пример)

Недостаток метода состоит в том, что вычисления ведутся по рекуррентной процедуре Кроме того, алгоритм деления многочлена при реализации на ЭВМ может приводить к накоплению вычислительных ошибок

Задание:

Задано , найти образующую решетчатую функцию.