Завдань для самостійної роботи

1. На основі даних Додатку 2 визначити відносні величини виконання плану, планового завдання і динаміки депозитних залучень грошей банком.

2. Використавши дані Додатку 3 визначити відносні величини інтенсивності та порівняння. За базу порівняння взяти величину кредитів.

3. За даними Додатку 4 визначити структуру кредитів, наданих банками в розрізі регіонів та зобразити її графічно.

4. За даними Додатку 5 встановити невистачаючі рівні, використовуючи взаємозв’язок відносних величин планового завдання, виконання плану та динаміки.

Індивідуальне завдання № 3 Середні значення Основні поняття та категорії

Середня величина у статистиці – узагальнюючий показник, що характеризує найбільш типовий рівень варіюючої ознаки у розрахунку на одиницю однорідної сукупності.

Одним із принципів наукового застосування середніх величин є їх обчислення для достатньо великої сукупності одиниць та якісно однорідних явищ і процесів.

При обчисленні середніх необхідно чітко усвідомити логічну формулу середньої. Логічна формула середньої є дріб, чисельник якого дорівнює загальному обсягу значень варіюючої ознаки, а знаменник – обсягу сукупності./

Приклади логічних формул середньої:

• ;

• = ;

У кожному конкретному випадку для реалізації логічної формули використовується певний вид середньої: середня арифметична, середня гармонічна, середня геометрична, середня квадратична, середня кубічна і т.д.

Середня арифметична. Найпоширеніший вид середньої у статистиці – середня арифметична . Обчислення середньої арифметичної для дискретного ряду розподілу варіації ознаки зводиться до підсумовування всіх значень варіюючої ознаки і ділення отриманої суми на загальну кількість одиниць сукупності. Середня арифметична буває простою і зваженою.

Якщо дані незгруповані, використовують середню арифметичну просту:

Якщо дані згруповані, використовують середню арифметичну зважену:

а) за частотою:

б) за відносною частотою:

( - в коефіцієнтах);

( - у відсотках).

В цих формулах:  – варіанта усереднюваної ознаки;  – обсяг сукупності;  – частота варіанти усереднюваної ознаки;  – відносна частота варіанти усереднюваної ознаки;  – число груп.

Якщо вихідні дані задаються інтервальним рядом, то при визначенні середньої арифметичної насамперед потрібно перетворити інтервальний ряд розподілу в дискретний. Вважається, що варіація ознаки в межах кожного інтервалу розподілена рівномірно, тому можемо обчислити середину інтервалу кожної групи як півсуму нижньої і верхньої меж інтервалу. Інтервали замінюємо числами , а відповідні їх частоти ( відносні частоти) залишаємо без змін.

Якщо групи задаються відкритими інтервалами (а це може бути перший, або останній, або обидва одночасно), то їхні розміри приймаються як такі, що умовно дорівнюють величині інтервалу тих груп, які розташовані поруч. Так, для першої групи це буде інтервал наступної, тобто другої групи, а для останньої – інтервал передостанньої групи.

Середня гармонічна – це величина, обернена до середньої арифметичної, обчисленої з обернених значень усереднюваної ознаки.

Середню гармонічну використовують тоді, коли частоти ( ), які виступають статистичними вагами, відсутні, але відомі добутки частот ( ) ознаки та її значення ( ), тобто відомі величини . Середню гармонічну обчислюють за формулою:

а) якщо дані незгруповані, то використовують формулу середньої гармонічної простої:

б) якщо дані згруповані, то використовують формулу середньої гармонічної зваженої:

,

де  – обсяг ознаки .

Середня геометрична. Середню геометричну використовують, коли загальний обсяг явища є не сума, а добуток значень ознаки. Формула обчислення середньої геометричної така:

де  – число варіант.

Середня квадратична. Середня квадратична використовується переважно для розрахунку показників варіації ознаки – дисперсії і середнього квадратичного відхилення.

Формули обчислення середньої квадратичної такі:

а) проста:

б) зважена:

Середнє значення альтернативної ознаки обчислюється за формулою:

Тут р – частка одиниць сукупності, які володіють досліджуваною ознакою, q –частка одиниць сукупності, які не володіють досліджуваною ознакою. Очевидно, що .

У практиці планування розрахунку нормативів часто вдаються до визначення середньої прогресивної. При розрахунку середньої прогресивної враховують тільки кращі показники з точки зору інтересів виробництва.

Мажорантність середніх. Якщо обчислити різні типи середніх величин для одного і того самого варіаційного ряду, то їх чисельні значення будуть відрізнятися один від одного, а самі середні розташуються таким чином:

Ця властивість середніх значень дістала назву мажорантності середніх.

Мода і медіана. Крім розглянутих середніх, у статистичному аналізі використовують величини, які співпадають з однією із конкретних варіант ряду розподілу, що займають у ранжированому (упорядкованому) ряді значень ознаки цілком певне положення. Серед таких величин найбільш уживаними є медіана , мода , які ще називають структурними середніми.

Медіаною називається варіанта, яка розташована у центрі ранжированого ряду. Медіану в дискретному ряді розподілу визначають так. Якщо число варіант непарне ( ), то центральна варіанта з номером і буде медіаною: . Якщо число варіант парне ( ) – медіана розраховується як середня арифметична двох центральних варіант, тобто .

В інтервальному ряді розподілу визначається спочатку медіанний інтервал, тобто інтервал, якому відповідає перша з накопичених частот або відносних частот, яка перевищує половину всього обсягу сукупності, а потім медіанне значення обчислюють за формулою:

де  – нижня межа медіанного інтервалу;  – величина медіанного інтервалу;  – сума нагромаджених частот інтервалу, що передує медіанному;  – частота медіанного інтервалу.

Мода  – це варіанта, що найчастіше повторюється в даній сукупності.

У дискретних варіаційних рядах мода визначається візуально за максимальною частотою (відносною частотою).

У інтервальних варіаційних рядах розрахунок моди здійснюється за схемою: а) визначають модальний інтервал, тобто інтервал ознак з найбільшою частотою; б) в межах модального інтервалу моду обчислюють за формулою:

де  – нижня межа модального інтервалу; ,  – ширина і частота модального інтервалу; ,  – частоти передмодального і післямодального інтервалів.

Завдань для самостійної роботи

1. За даними Додатку 6 визначити середньомісячну заробітну плату.

2. На основі Додатку 7 знайти середній вклад в банку.

3. За даними Додатку 8 визначити середню місячну зарплату для трьох відділень банку вцілому.

4. За даними Додатку 9 визначити моду та медіану.

Індивідуальне завдання № 4

Показники варіації

Основні поняття та категорії

Варіація – це зміна чисельної величини ознаки в статистичній сукупності, тобто наявність в одиниць сукупності різних значень ознаки, що є наслідком впливу на елементи сукупності різних причин ( факторів).

Для виміру і оцінки варіації використовують такі характеристики: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації тощо.

Розмах варіації ( R) – це різниця між максимальним і мінімальним значеннями ознаки. Він визначається формулою:

,

де  – максимальне значення ознаки;  – мінімальне значення.

Середнє лінійне відхилення   – це величина, що відображає середнє відхилення конкретного значення ознаки від середнього значення в сукупності. Воно показує діапазон, у якому лежить основна маса значень ознаки навколо середньої величини і враховує всю суму відхилень індивідуальних варіант від середньої арифметичної, а також їх частоти.

Середнє лінійне відхилення обчислюють за формулою:

а) просте, якщо дані незгруповані:

,

б) зважене, якщо дані згруповані:

.

Дисперсія кількісної ознаки. Дисперсія ( ) – середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від її середньої арифметичної. Її визначають за формулами:

а) проста, якщо дані незгруповані:

б) зважена, якщо дані згруповані:

.

Дисперсія вказує на ступінь розсіювання різних варіант ознаки навколо середнього значення.

Середнє квадратичне відхилення одержують шляхом добування кореня квадратного з дисперсії і позначають літерою :

а) просте, якщо дані незгруповані:

;

б) зважене, якщо дані згруповані:

.

Середнє квадратичне відхилення показує, на скільки в середньому відхиляються індивідуальні значення варіант від їх середнього значення.

Часто зручніше обчислювати дисперсію за формулою:

.

Це так звана спрощена формула обчислення дисперсії.

Дисперсія альтернативної ознаки обчислюється за формулою:

.

Середнє квадратичне відхилення альтернативної ознаки розраховується за формулою:

.

Якщо досліджувану сукупність поділити на окремі групи за факторною ознакою х, дисперсія результативної ознаки у може бути розкладена на: а) загальну дисперсію; б) групові дисперсії; в) середню з групових дисперсій; д) міжгрупову дисперсію.

Загальна дисперсія  – характеризує загальну варіацію ознаки у під впливом усіх факторів і причин, що зумовили цю варіацію і визначається за формулою:

.

де  – загальне середнє величини ознаки.

Групова дисперсія  – дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої відповідної групи:

де  – номер групи;  – число підгруп в - ій групі;  – середнє значення ознаки  – ої групи;  – обсяг  – ої групи.

Середня з групових дисперсій  – це середньоарифметична зважена з групових дисперсій:

.

Міжгрупова дисперсія  – дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої:

.

Між наведеними видами дисперсій існує певне співвідношення: загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з внутріщньогрупових дисперсій та міжгрупової дисперсії:

.

Це співвідношення називають правилом додавання дисперсій.

Для повнішого аналізу мінливості в сукупності необхідно розраховувати відносні показники варіації, суть яких полягає у співвіднесенні деяких абсолютних показників варіації зі значенням середньої величини як характеристики центра розподілу. Серед них найчастіше застосовуються: лінійний коефіцієнт варіації; квадратичний коефіцієнт варіації; коефіцієнт осциляції.

а) лінійний коефіцієнт варіації :

б) квадратичний коефіцієнт варіації : ;

в) коефіцієнт осциляції : .

Чим менша варіація, тим менше значення цих показників. Для порівняння варіацій найчастіше використовують квадратичний коефіцієнт варіації. Вважають, що сукупність є однорідною, а середня є типовою для сукупності, коли квадратичний коефіцієнт варіації не перевищує 0,33 ( або 33%).

Завдань для самостійної роботи

1. За даними Додатку 9 визначити показники варіації статутного капіталу банків.

2. На базі згрупованих даних в індивідуальному завданні №1 визначити загальну, між групову та середню із внутрішньогрупових дисперсію.

Індивідуальне завдання № 5

Вибірковий метод

Основні поняття та категорії

Вибіркове спостереження – такий вид несуцільного спостереження, при якому обстежуються не всі елементи сукупності, що вивчається, а лише їх частина, відібрана за певними правилами, що дозволяє на підставі вибіркових оцінок отримати дані для характеристики усієї сукупності.

Сукупність, з якої відбираються елементи для обстеження, називається генеральною. Сукупність, яку безпосередньо обстежують і є частиною генеральної, називається вибірковою. Узагальнюючі показники генеральної сукупності називаються генеральними показниками, а вибіркової – вибірковими.

Обсяг генеральної сукупності позначають через N, а вибіркової – через n; генеральну середню позначають через , а вибіркову середню позначають через ; генеральну дисперсію – через , а вибіркову дисперсію – через .Частку одиниць, що володіють даною ознакою в генеральній сукупності, називають генеральною часткою і позначають через p. Відповідну частку одиниць вибірки називають вибірковою часткою і позначають через .

Вибірка вважається репрезентативною, якщо, по – перше, кожен елемент генеральної сукупності має однакову ймовірність потрапити у вибірку і, по – друге, сам відбір здійснювався випадковим чином.

У практиці вибіркових обстежень використовують такі способи формування вибіркових сукупностей: простий випадковий відбір; типовий ( районований) відбір; механічний відбір і серійний відбір.

Простий випадковий відбір проводиться на основі жеребкування або таблиць випадкових чисел без попереднього поділу генеральної сукупності на будь-які групи.

Механічний відбір – різновидність випадкового відбору. Суть його полягає в тому, що всі одиниці генеральної сукупності розташовуються в певному порядку ( за зростанням, за алфавітом, за географічним положенням тощо), а потім суто механічно через певний інтервал відбирають необхідну кількість одиниць у вибіркову сукупність.

Типовий ( районований) відбір передбачає попередній поділ генеральної сукупності на типові групи за досліджуваною ознакою, а потім із кожної групи випадковим або механічним способом відбирають необхідну кількість одиниць. При цьому необхідно забезпечити принцип пропорційного представництва кожної групи відповідно до їх чисельності.

Суть серійного відбору полягає в тому, що відбору підлягають не окремі одиниці генеральної сукупності, а цілі серії таких одиниць.

Всі відбори ( за винятком механічного) можуть реалізовуватися повторним і безповторним методами.

При повторному методі кожна відібрана одиниця після її реєстрації повертається до генеральної сукупності і знову може бути відібраною.

При безповторотному методі кожна відібрана одиниця після її реєстрації до генеральної сукупності не повертається і в подальшому відборі участі не бере.

Помилки вибіркового спостереження можна поділити на помилки реєстрації і помилки репрезентативності.

Помилки реєстрації властиві будь-якому статистичному спостереженню, їх поява викликана неуважністю реєстратора, неточністю підрахунків, недосконалістю приладів тощо. Помилки реєстрації бувають випадкові і систематичні.

Помилки репрезентативності, які притаманні тільки вибірковому спостереженню, зумовлені самою його природою, бо вибірка недостатньо точно відтворює в повній мірі генеральну сукупність і наявна розбіжність між показниками. Помилки репрезентативності також бувають систематичними і випадковими.

Систематичні помилки репрезентативності – це неточності, які виникають внаслідок порушення принципів проведення відбору одиниць у вибіркову сукупність. Їх можна усунути або звести до мінімуму шляхом дотримання правил вибірки.

Випадкові помилки репрезентативності – це результат недостатньо рівномірного представлення у вибірковій сукупності різних категорій елементів генеральної сукупності. Ці помилки усунути повністю неможливо, їх можна виміряти за допомогою відповідних методів математичної статистики.

Середня помилка вибірки – це середнє квадратичне відхилення вибіркових середніх від генеральної середньої.

Формули для середньої помилки великих вибірок (п>>30) мають вигляд