f(x)

X

Z



Шкала Z -3 -2 -1 0 1 2 3

 =0; =1  -3  -2  -1   +1  +2  +3

Вероятность равна площади фигуры, ограниченной кривой нормального распределения

Р= S

Вероятность этого события равна:

90

Шкала X 40 60 80 100 120 140 160

 =100;=20  -3  -2  -1   +1  +2  +3

Рис. 4. Преобразование шкалы для плотности вероятностей нормального распределения к стандартизованному виду

б).

в).

Определение значения переменной X_к, соответствующего заданной вероятности

Величина X равна сумме математического ожидания генеральной совокупности μ и произведения величины Z на среднее квадратическое отклонение σ:

. (5)

Чтобы вычислить конкретное значение переменной X_к, соответствующее заданной вероятности, необходимо выполнить следующее.

• Нарисовать гауссову кривую и отметить на ней математические ожидания по шкале переменных X и Z.

• Отметить и закрасить площадь фигуры, ле­жащую слева от точки X_к и ограниченную кривой нормального распределения.

• Используя данные табл. 2, определить величину Z, соответствующую суммарной пло­щади области, ограниченной нормальной кривой и лежащей слева от точки X_к.

Упражнение 2. Для условий упражнения 1 определите нижнюю и верхнюю границы симметричного интервала с центром в математическом ожидании нормального распределения, который содержит 95% значений случайной величины X.

Решение. Сначала определим нижнюю границу X_н, а затем — верхнюю границу Х_в. Поскольку 95% всех значений расположены между этими границами, причем величины X_н и Х_в размещены симметрично относительно математического ожида­ния, то слева и справа от этого интервала оказываются 2,5% величин.

Хотя значение X_н, неизвестно, мы можем вычислить стандартизованную величину Z, поскольку площадь фигуры, ограниченной нормальной кривой, известна и равна 0,0250.

По данным табл. 2. найдем, что Z_н=-1,96. Теперь можно вычислить значение X_н из уравнения (5).

Учитывая симметричность нормального распределения, приходим к выводу, что искомая величина Z_в равна +1,96 (поскольку эта величина лежит справа от нуля на стандартизованной шкале). Эту величину можно также получить по данным табл. 2, поскольку 97,5% площади фигуры, ограниченной нормальной кривой, лежит левее значения Z_в= +1,96.

Теперь можно вычислить значение Х_в из уравнения (5):

Х_в = 100+39,2 = 139,2.

Таким образом, 95% числа ежемесячно продаваемых компьютеров, лежат в интервале от 60,8 до 139,2 единиц.

Выводы.

1. Любой набор нормально распределенных случайных величин можно преобразовать в стандартизованный вид и вычислить искомые вероятности, пользуясь таблицей стан­дартизованного нормального распределения.

2. Среднее квадратическое отклонение является единицей измерения «качества» нормально распределенных случайных величин.

Задачи к разделу I

Задача 1. Рассмотрим стандартизованное нормальное распределение (математическое ожидание равно 0, а среднее квадратическое отклонение равно 1 (см. табл.2)).

1. Чему равна вероятность P(Z < 1,57)? 0,9418

2. Чему равна вероятность P(Z > 1,84)? 0,0329

3. Чему равна вероятность Р(1,57 <Z< 1,84)? 0,0253

4. Чему равна вероятность P(Z < 1,57 или Z > 1,84)? 0,9747

5. Чему равна вероятность Р(-1,57 < Z < 1,84)? 0,9089

6. Чему равна вероятность P(Z < -1,57 или Z >1,84)? 0,0911

1. Между какими значениями переменной Z (симметрично распределенной от­носительно математического ожидания) лежат 68,26% всех ее возможных значений? 1

Задача 2. Рассмотрим стандартизованное нормальное распределение. Вычислите следующие вероятности.

1. P(Z > +1,34).

2. P(Z <+l,17).

3. P(0<Z<+1,17).

4. Р(Z<-1,17).

5. P(-1,17<Z<+1,34).

6. P(-l,17<Z<-0,50).

Задача 3. Транспортная компания определила, что за год каждый из ее грузовиков проходит расстояние, равное 50,0 тыс. км, а среднее квадратическое отклонение равно 12,0 тыс. км. Предположив, что годовой пробег грузовиков распределен по нормальному закону, определите:

1. Какая доля грузовиков проходит за год от 34,0 до 50,0 тыс. км?

2. Какова вероятность того, что наугад выбранный грузовик прошел за год от 34,0 до 38,0 тыс. км?

3. Какая доля грузовиков проходит за год меньше 30,0 или больше 60,0 тыс. км?

4. Сколько из 1000 грузовиков, принадлежащих парку компании, проходят за год от 30,0 до 60,0 тыс. км?

5. Как изменятся ответы на вопросы 1-5, если среднее квадратическое отклонение равно 10,0 тыс. км?

Задача 4. Предельная нагрузка, которую выдерживают пластиковые пакеты, является нормально распределенной случайной величиной. Ее математическое ожидание равно 15 кг, а среднее квадратическое отклонение — 2,5 кг.

1. Какая доля пакетов выдерживает максимальную нагрузку не больше 17 кг?

2. Какая доля пакетов выдерживает максимальную нагрузку не меньше 14 кг?

3. Какая доля пакетов выдерживает максимальную нагрузку от 14,5 до 15,5 кг?

4. Какая доля пакетов выдерживает максимальную нагрузку от 13,2 до 14,2 кг?

5. Между какими двумя величинами (симметрично расположенными относи­тельно математического ожидания) распределены 95% всех возможных зна­чений максимальной нагрузки?

6. Как изменятся ответы на вопросы 1-5, если среднее квадратическое отклонение равно 1,0 кг?

Задача 5. Оценки, полученные студентами на экзамене по статистике, являются нормаль­но распределенными случайными величинами. Математическое ожидание этого распределения равно 73, а среднее квадратическое отклонение — 8.

1. Какова вероятность получить на экзамене меньше 91 баллов?

2. Какова доля студентов, получивших на экзамене от 65 до 89 баллов?

3. Какова доля студентов, получивших на экзамене от 81 до 89 баллов? Укажите сумму баллов, которую превысили только 5% студентов.

Задача 6. Статистический анализ 1 000 междугородных телефонных разговоров в офисе кор­порации «Ямис» показал, что их продолжительность является нормально распределенной случайной величиной. Математическое ожида­ние этого распределения равно 260 с, а среднее квадратическое отклонение — 50 с

1. Какова доля разговоров, длящихся менее 130 с?

1. Какова вероятность того, что продолжительность наугад выбранного разго­вора окажется больше 130 и меньше 290 с?

2. Сколько разговоров длятся меньше 130 или больше 290 с?

3. Сколько разговоров длятся больше 110 и меньше 180 с?