V. Выборочное распределение долей

При анализе категорийных данных, принимающих одно из двух значений, результаты часто обозначают в виде категорий: «да»; «нет». Среднее значение, вычисленное по выборке, состоящей из п подобных элементов, равно количеству одноименных категорий, деленному на п. Для категорийных данных выборочное среднее представляет собой выборочную долю p некоторой характеристики, ко­торой обладают элементы выборки.

Выборочная доля признака имеет особое свойство: она принимает значения от 0 до 1. Если все элементы выборки обладают одинаковыми характеристиками, то каждому из них присваивается единица, а выборочная доля признака также становится равной единице. Ес­ли только половина элементов выборки обладает интересующим нас свойством, им припи­сываются единицы, а остальные обозначаются нулями. В этом случае выборочная доля при­знака , равна 0,5. Если ни один элемент выборки не обладает интересующим нас свойством, им приписываются нули. В этом случае выборочная доля признака равна нулю.

В то время как выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности μ, статистика является несмещенной оценкой доли признака р в генеральной совокупности. По аналогии с распределением выбороч­ных средних можно внести стандартную ошибку доли признака.

Стандартная ошибка доли признака

(15)

Если выборка извлекается из конечной генеральной совокупности без возвращения, выборочное распределение доли признака подчиняется биномиальному закону. Однако, если значения пр и n(1-р) больше 4, это распределение можно аппроксимировать нормальным. При статистическом анализе долей признака объем выборки играет очень важную роль. Следовательно, во многих ситуациях для оценки выборочного распределения доли признака можно использовать нормальное распределение. Таким образом, в формуле (14) величину можно заменить величиной , величину μ – величиной р, а величину - величиной

Нормированная разность между выборочной долей признака и долей признака в генеральной совокупности

(16)

Упражнение 6. Предположим, что менеджер местного отделения банка выяснил, что 40% всех вклад­чиков имеют в банке несколько счетов. Если создать выборку из 200 вкладчиков, то можно вычислить вероятность того, что выборочная доля вкладчиков, имеющих не­сколько счетов, не превосходит 0,30.

Решение. Поскольку пр = 200•0,40 = 80 > 5 и n(1-р) = 200•0,60 = 120 > 5, выборочное распреде­ление доли вкладчиков практически совпадает с нормальным.

В этом случае

Для значения Z = -2,89 соответствует площадь 0,0019. Следовательно, веро­ятность того, что доля вкладчиков, имеющих несколько счетов, не превосходит 0,30, равна 0,0019, т.е. крайне маловероятна.

Задачи к разделу V

Задача 14. В случайной выборке, состоящей из 64 человек, 48 классифицированы как «успеш­ные». Предположим, что доля успехов в генеральной совокупности равна 0,70.

1. Вычислите выборочную долю успехов . 0,75

2. Вычислите стандартную ошибку этой выборочной доли. 0,15

Задача 15. Случайным образом выбраны 50 человек. На заданный им вопрос 15 человек ответили «Да» и 35 — «Нет». Предположим, что доля признака в генеральной совокупности равна 0,40.

1. Вычислите выборочную долю .

2. Вычислите стандартную ошибку этой выборочной доли.

Задача 16. Приблизительно 30% студентов вузов РФ являются отличниками. Предположим, что выбор­ки состоят из 100 случайно выбранных студентов.

1. Какова доля выборок, в которых количество отличников колеблется между 25 и 35% ?

2. Какова доля выборок, в которых количество отличников колеблется между 20 и 40%?

3. Какова доля выборок, в которых количество отличников превышает 40%?

4. Как изменятся ответы на вопросы 1-3, если объемы выборок равны 50?

Задача 17. По данным опроса 20% студентов вузов РФ имеют транспортные средства. Предположим, что вы­борки состоят из 100 случайно выбранных студентов.

1. Какова доля выборок, в которых количество студентов, имеющих транспортные средства, колеблется между 15 и 25%?

2. Между какими двумя процентными долями студентов, имеющих транспортные средства (симметрично расположенными относительно математиче­ского ожидания), лежат 90% выборочных процентных долей таких студентов?

3. Между какими двумя процентными долями студентов, имеющих транспортные средства (симметрично расположенными относительно математиче­ского ожидания), лежат 95% выборочных процентных долей таких cтудентов?

Задача 18. По данным налоговых органов доля безрезультатных аудитов за 2009 г. приблизительно составляет 25%.

Предположим, что из генеральной совокупности аудитов, проведенных в 2009 г. извлекаются случай­ные выборки, состоящие из 100 аудитов.

1. Какова доля выборок, в которых количество безрезультатных аудитов колеб­лется между 24 и 26%?

2. Какова доля выборок, в которых количество безрезультатных аудитов колеб­лется между 20 и 30%?

3. Какова доля выборок, в которых количество безрезультатных аудитов пре­вышает 30%?