3. Класичне означення ймовірності та її властивості. Геометрична і статистична ймовірності
В практичній діяльності дуже важливо вміти порівнювати події за ступенем можливості їх появи, тобто потрібна деяка міра, що буде визначати можливість появи події. Такою мірою виступає ймовірність появи події.
Ймовірність події – це число, яке характеризує можливість її здійснення (або нездійснення).
Яким чином це число визначати?
Існує декілька підходів, серед них класичний, статистичний та геометричний способи визначення ймовірностей.
Класичне означення ймовірності:
Ймовірність події – це відношення елементарних наслідків випробування, що сприяють появі даної події, до загальної чисельності наслідків випробувань. Тобто
де т – кількість результатів випробувань, що сприяють появі даної події
п – кількість всіх можливих результатів випробувань
Задачі на обчислення ймовірності за класичною схемою
1. Знайти ймовірність того, що з колоди, яка складається з 36 карт, витягнуть короля
2. В коробку лежать 5 білих кульок, 3 чорних та 7 червоних. Знайти ймовірність того, що з коробки витягнуть:
білу кульку
чорну кульку
червону кульку
Для того, щоб мати можливість обчислювати ймовірність події за класичним означенням ймовірності, потрібно щоб результати випробувань можна було представити у вигляді скінченої сукупності рівноможливих елементарних подій. Однак , на практиці такі випробування зустрічаються досить рідко. Тому, поруч із класичним означенням використовують наступні:
Статистичне означення ймовірності:
Ймовірність події дорівнює відносній частоті її появи, тобто відношенню кількості випробувань, в яких подія з’явилась до загальної кількості фактично проведених випробувань:
де т – кількість появ події
п – загальна кількість випробувань
Геометричне означення ймовірності
Якщо g – частина області G, то ймовірність того, що випадкова точка потрапить в g дорівнює відношенню міри частини області g до міри всієї області G, тобто
Для відрізків мірою виступає їх довжина, для пласких фігур – площа, для фігур у тривимірному просторі – об’єм.
Властивості ймовірності події:
1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці
2. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю
3. Ймовірність випадкової події лежить в межах від нуля до одиниці
4. Основні формули комбінаторики
Комбінації – це різноманітні поєднання груп елементів, що відрізняються одна від одної самими елементами або порядком цих елементів.
Для обчислення кількості комбінацій, використовують наступні правила :
Наприклад:
В ящику 20 деталей. Серед них 5 деталей – 1 сорту, 12 деталей – 2 сорту та 3 деталі – 3 сорту. Скільки існує способів дістати із ящика одну деталь або першого або третього сорту
В групі 30 чоловік. Необхідно вибрати старосту, його замісника і профорга. Скількома способами можна це зробити?
Основні формули комбінаторики
1. Схема вибору елементів, що приводить до сполучень:
Якщо дослід складається з вибору m елементів із множини, що складається з n елементів, без повернення та без упорядкування, то комбінації, отримані шляхом такого відбору називають сполученнями з n елементів по m, а їх загальну кількість визначають за формулою:
Наприклад:
В ящику міститься 10 шарів. Скількома способами можна вибрати по 3 шари з ящика?