1. Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність.

Події поділяють на події залежні та події незалежні.

Декілька подій називають незалежними в сукупності, якщо будь-яка з них не залежить від будь-якої іншої події і від будь-якої комбінації інших подій.

Ймовірності, що відповідають незалежним подіям, називають безумовними, так як на ймовірність їх появи не накладається ніяких додаткових умов. Позначаються безумовні ймовірності як Р(А)

Ймовірності, що відповідають залежним подіям, називають умовними, так як на ймовірність їх появи накладається умова, що вже відбулася попередня подія, від якої залежить задана. Позначаються умовні ймовірності як Р_А(В), або Р(В|А)

2. Теорема множення ймовірностей.

Теорема 2.1. (добуток ймовірностей залежних подій) Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчисленої за умови, що перша подія вже відбулася, тобто:

Р(А·В)=Р(А)·Р_А(В)=Р(В)·Р_В(А)

Наприклад:

• В ящику 10 деталей стандартні, а 5 нестандартні. Робітник по черзі виймає спочатку одну деталь, а потім другу. Обчислити ймовірність того, що першою він взяв стандартну деталь, а другою – нестандартну.

Наслідок 1 з теореми 2.1. Ймовірність добутку декількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з цих подій на умовні ймовірності інших; при цьому умовна ймовірність кожної наступної події обчислюється за умови, що всі попередні події вже відбулися.

Наслідок 2 з теореми 2.1. (добуток ймовірностей незалежних подій) Ймовірність появи незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто

Р(А·В)=Р(А)·Р(В)

3. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Протилежні події.

Теорема 2.2. Ймовірність появи однієї із двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто

Наприклад: В змаганнях по стрільбі виграє той стрілок, який в пострілі виб’є 10 або 9 очок. Ймовірність того, що стрілок виб’є 10 очок дорівнює 0,1, а 9 очок– 0,23. Знайти ймовірність того, що стрілок переможе в змаганнях

Важливо! Теорема 2.2. справедлива тільки для несумісних подій. Використання її для обчислення сумісних подій може привести до невірних висновків.

Наприклад:

Нехай ймовірність виконання заводом у визначені строки одного замовлення дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що завод виконає в строк із двох замовлень перше або друге

Наслідок з теореми 2.2. Ймовірність появи однієї із декількох попарно несумісних подій А₁, А₂ ,...,А_п дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто

Р(А₁+А₂+...+А_п)= Р(А₁)+ Р(А₂)+...+ Р(А_п)

Наприклад:

• Нехай ймовірність того, що в магазині буде продано футболку 44 розміру дорівнює 0,15, ймовірність того, що буде продано футболку 46 розміру – 0,44, а футболку 48 розміру – 0,18. Яка ймовірність того, що буде продано одну футболку розміру не меншого ніж 44?

Теорема 2.3. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи, тобто

Наприклад:

• Нехай ймовірність виконання заводом у визначені строки одного замовлення дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що завод виконає в строк хоча б одне із двох замовлень?

Зауваження до теореми 2.3. Події А і В можуть бути як залежними так і незалежними.

Для незалежних подій формула матиме вигляд:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(А)·Р(В)

Для залежних подій формула матиме вигляд:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(А)·Р_А(В)

Теорема 2.4. Сума ймовірностей подій А₁, А₂ ,...,А_п, що складають повну групу, дорівнює одиниці, тобто

Р(А₁+А₂+...+А_п)=1

Наслідок з теореми 2.4. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто Р(А+ )=1

Наприклад:

Ймовірність того, що покупець купить виріб дорівнює 0,38. Знайти ймовірність події, протилежної заданій.