Методичні матеріали до практичних занять

Практичне заняття 1. Випадкові події. Алгебра подій

Приклад 1. Підкидають два гральні кубики, підраховують суму очок, що випали (суми чисел на верхніх гранях обох кубиків). Сума очок, що випали на двох кубиках може змінюватись від 2 до 12. Записати повну групу подій в цьому досліді.

Розв’язок. Повну групу подій утворюють рівноможливі елементарні результати , представлені в таблиці 1.1. Елементарний результат ( ) означає, що на першому кубику випало очок, на другому очок ( ). Наприклад, (3; 4) - на першому кубику 3 очки, на другому - 4 очки.

Таблиця 1.1.

(1;1)	(2;1)	(3;1)	(4;1)	(5;1)	(6;1)
(1;2)	(2;2)	(3;2)	(4;2)	(5;2)	(6;2)
(1;3)	(2;3)	(3;3)	(4;3)	(5;3)	(6;3)
(1;4)	(2;4)	(3;4)	(4;4)	(5;4)	(6;4)
(1;5)	(2;5)	(3;5)	(4;5)	(5;5)	(6;5)
(1;6)	(2;6)	(3;6)	(4;6)	(5;6)	(6;6)

Приклад 2 . Стрілець зробив три постріли по мішені. Елементарні події:

А₁ - влучив при 1-му пострілі; ₁ - не влучив при 1-му пострілі;

А₂ - влучив при 2-му пострілі; ₂ - не влучив при 2-му пострілі;

А₃ - влучив при 3-му пострілі; ₃ - не влучив при 3-му пострілі.

Виразимо через А₁, А₂, А₃ та їх протилежність наступні події:

а) одне влучення:

б) три промахи:

в) три влучення:

г) хоча б один промах: .

д) не менш ніж два влучання:

е) не більше одного влучання:

ж) влучання в мішень після першого пострілу:

Індивідуальні завдання

1. Стрілець зробив три постріли по мішені. Елементарні події:

А₁ - влучив з 1-го пострілу; - не влучив з 1-го пострілу;

А₂ - влучив з 2-го пострілу; - не влучив з 2-го пострілу;

А₃ - влучив з 3-го пострілу; - не влучив з 3-го пострілу. Визначити, яким подіям відповідають наступні записи подій:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

2. Монету підкидають три рази. Події, що розглядаються А_і - поява герба при i- му підкиданні (i=1,2,3). Представити у вигляді сум, добутків і сум добутків подій А_і наступні події: А - з'явилися всі три герби; В - з'явилися всі три цифри; С - з'явився хоча б один герб; D - з'явилася хоча б одна цифра; E - з'явився тільки один герб; F - з'явилася тільки одна цифра.

3. Проводиться матч на першість країни по футболу між командами "Динамо" і "Спартак". Події, що цікавлять нас: А - виграла команда "Динамо"; B - гра закінчилася з рахунком 3:1 на користь "Спартак"; C - у грі забито не менше трьох голів.

4. Партія складається зі стандартних і нестандартних деталей, які ретельно перемішані. З неї навмання беруть дві деталі. Визначити простір елементарних подій та множини елементарних подій для таких подій: - поява однієї стандартної і однієї нестандартної деталей; - поява не менш як однієї стандартної деталі; - поява не більш як однієї стандартної деталі.

5. Скільки елементарних результатів сприяє події "на обох кубиках випало однакове число очок" при підкиданні двох гральних кубиків?

6. Підкидають два гральні кубики. Якій події сприяє більше елементарних результатів: "сума очок, що випала дорівнює 7", "сума очок, що випала дорівнює 8"?

7. Робітник виготовив n деталей. Нехай подія полягає в тому, що i-та деталь має дефект. Записати такі події: А - жодна з деталей не має дефектів; В - принаймні одна деталь має дефект; С - лише одна деталь має дефект.

8. Підкидають три гральні кубики, підраховують суми очок, що випали на них. Скількома способами можна одержати в сумі 5 очок, 6 очок?

9. Задано множину чисел = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Навмання із цієї множини беруть одне число. Побудувати такі випадкові події: А - з'явиться число кратне 2; В - число кратне 3; С - число кратне 5.

10. Монету підкидають чотири рази. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту і такі випадкові події: А - герб випаде двічі; В - герб випаде не менш як тричі.

11. Експеримент складається в розкладанні навмання 3-х занумерованих куль по трьох ящиках. У кожен ящик може поміститися будь-яке число куль. Спостережуваний результат - трійка чисел (і,j,k), де і,j,k - номера ящиків, у які потрапили відповідно перша, друга й третя кулі. Описати множину елементарних подій і склад підмножин, що відповідають наступним подіям: А - перший ящик порожній; B - у кожен ящик потрапило по одній кулі; C - всі кулі потрапили в один ящик.

12. Гральну кістку підкидають двічі. Спостережуваний результат - пари чисел, що відповідають числам очок, що випали в перший і другий раз. Описати множину елементарних подій і склад підмножин, що відповідають наступним подіям: А - обидва рази випало число очок, що кратно трьом; B - жодного разу не випало число 6; C - обидва рази випало число очок >3; D - обидва рази випало однакове число очок.

13. Монету підкидають до 1-ї появи герба. Спостережуваний результат - загальне число підкидань. Описати множину елементарних подій і склад підмножин, що відповідають наступним подіям: А - герб випав при третьому підкиданні; B - герб випав не раніше, ніж при третьому підкиданні.

14. Задано дві множини цілих чисел ₁ = {1, 2, 3}, ₂ = {1, 2, 3, 4}. Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Визначити елементарні події цього експерименту — появу пари чисел.

15. Монета підкидається 3 рази. Спостережуваний результат - поява герба (Г) або цифри (Ц) на верхній стороні монети. Описати множину елементарних подій і склад підмножин, що відповідають наступним подіям: А - герб випав рівно один раз; B - жодного разу не випала цифра; C - випало більше гербів, ніж цифр; D - герб випав не менш, ніж 2 рази підряд.

16. Фірма набирає співробітників. Вимоги до претендентів: а) володіння англійською мовою (подія A); б) володіння комп'ютерними навичками (подія В); в) вік - не старше 30 років (подія С); г) стать - чоловіча (подія D). Як записати подію, яка полягає в тому, що претендента можуть взяти на роботу? Пояснити, що означають події:

, .

17. В множині подружніх пар випадково обирається одна. Розглянемо такі події: А –“чоловікові більше 20 років”, В –“чоловік старший за дружину”, С “дружині більше 20 років”. Поясніть зміст подій:

18. З 25 студентів 20 захоплюється спортом (подія А), 9-музикою (подія В), 6-музикою та спортом. Поясніть, що означають такі події:

19. Кур’єр доставляє в межах містах важливу кореспонденцію. Нехай подія А- це на шляху його проходження не зустрінеться жодної автомобільної пробки, подія В - у місті оголошено свято і основні шляхи перекриті, подія С - на шляху руху його зупинить інспектор ДАІ. Описати події вчасної доставки кореспонденції та із затримками.

20. Для підготовки до заліку студенту достатньо наявності конспекту лекцій. Подія А полягає в тому, що студент був на лекції, подія В - його друг був на лекції, подія С - законспектувати матеріал за літературою. Описати подію успішної підготовки студента та його друга.

21. Для підготовки до семінару студенту потрібна книга, яка є в двох бібліотеках міста, але вона може бути зайнята другим читачем. Записати подію того, що студент підготується до екзамену.

22. Серед студентів, що здали іспит з теорії ймовірностей, обирають будь-якого одного. Нехай подія А - "обраний студент молодше 20 років", В - "обраний студент живе у гуртожитку", С - "обраний студент отримав на іспиті відмінно". Потрібно описати події: а) б)

23. Події: А - хоча б один із трьох приладів, що перевіряються, бракований, В - усі прилади доброякісні. Що означають події: а) б)

24. Фізична особа поклала гроші на депозитний рахунок. Подія А - гроші одержані після закінчення терміну депозиту, подія В - одержані відсотки. Описати події , ,

25. Нехай подія А- на вулиці сонячна погода, подія В- пішов дощ. Описати подію

26. Касир банку отримує премію за умов, якщо один з п’яти обслугованих ним VIP-клієнтів укладе договір з банком більш ніж на два роки або клієнт укладе депозитну угоду на суму більш ніж 100 000 грн. та жодного разу не спізниться на роботу. За допомогою алгебри подій описати випадок одержання касиром премії.

27. Студент вивчив 20 питань із 30. При складанні заліку студенту задано два питання. Залік одержує студент, якщо він відповідає хоча б на одне питання. Записати подію, що студент складе залік.

28. Прибуток фірми складається з реалізації товару та сплати податку. Якщо позначити подію А - товар реалізований; В - сплачено податок. Що означають події а) б) в)

29. Подія А, полягає в тому, що менеджер відділу побутової техніки продасть плазмову панель, подія - продасть звичайний телевізор, а подія - пральну машинку. Описати подію D - менеджер виконає план продажу за тиждень, якщо для цього потрібно продати дві плазмові панелі, або чотири звичайних телевізори, або три пральних машини.

30. З таблиці випадкових чисел навмання взято одне число. Подія А - обране число ділиться на 5; В- дане число закінчується нулем. Що означає подія

31. Монета підкидається три рази. Розглядаються події Aі - поява герба при і-м підкиданні (і=1,2,3). Представити у вигляді сум, добутків і сум добутків подій Аі наступні події: А - з'явилися всі три герби; В - з'явилися всі три цифри; С- з'явився хоча б один герб; D- з'явилася хоча б одна цифра; Е - з'явився тільки один герб; F- з'явилася тільки одна цифра.

32. У ящику містяться 3 латунні (Л), 3 сталеві (С) і 1 бронзова (Б) деталь. Беруть 2 деталі. Визначити простір елементарних подій та множину елементарних подій яка утворює з подіями повну групу, якщо - елементарні події, позначені згідно з матеріалом деталей.

33. Випадково підкидається гральна кістка. Нехай А –випало парне число очок, В –випало число очок менше трьох. Описати події:

34. Нехай подія А- до банку звернулась фізична особа, подія В- до банку звернулась юридична особа, подія С- з рахунку були переведені гроші на інший, подія D - з рахунку було знято гроші. Описати, що означають такі події:

35. В банку до каси стоїть черга клієнтів. Нехай подія А - 10 клієнтів бажають отримати гроші з картрахунку, В- 7 клієнтів бажають обміняти одну валюту на іншу та С - 8 осіб бажають відкрити депозит. Визначити зміст подій

Практичне заняття 2. Комбінаторика

Задача з комбінаторики - задача на підрахунок кількості деяких способів.

Часто ці підрахунки використовують основне правило комбінаторики - принцип множення. Якщо першу дію ми можемо виконати n1 способами, другу – n2 способами,..., k-ту дію - nk способами, то всі k дій разом ми можемо виконати n1n2…nk способами.

Якщо першу дію ми можемо виконати n1 способами, другу – n2 способами,..., k-ту дію - nk способами, то першу, або другу, або k-ту дію ми можемо виконати n1+n2+…+nk способами.

Основні формули комбінаторики

Вид вибірки	Без повторів	З повторами
Перестановки		,
Розміщення
Комбінації

Приклад 3. Скільки тризначних чисел можуть бути записані за допомогою цифр 0,1,2,3,4 якщо:

а) цифри в записі можуть повторюватися;

б) цифри не можуть повторюватися.

Розв’язок. а) На перше місце в тризначне число ми можемо поставити будь-яку з чотирьох наших ненульових цифр (перша цифра не може бути нулем) - маємо тут чотири способи. На друге місце ставимо будь-яку з п'яти наших цифр. I на третє місце будь-яку з п'яти цифр - маємо по п'ять способів. 3 принципу множення загальна кількість способів отримати тризначне число у нас дорівнює 455=100.

б) Ми маємо чотири способи поставити цифри на перше місце (беремо будь-яку ненульову цифру), маємо чотири способи поставити цифру на друге місце (будь-яку цифру, крім тої, що стоїть на першому місці), маємо три способи поставити цифру на третє місце (не можемо використовувати цифри, що стоять на перших двох місцях). 3 принципу множення відповідь дорівнює 443=48.

Наведемо інші важливі твердження комбінаторики. Кількість всіх перестановок n різних елементів дорівнює n!=12…n. Кількість сполучень з n різних елементів по k (тобто кількість невпорядкованих k елементних підмножин n –елементної множини) дорівнює .

Приклад 4. Скільки існує способів вибору трьох людей з десяти.

Розв'язок. У цьому випадку при виборі для нас важливий тільки склад наборів по три людини, порядок вибору ролі не відіграє, тому число способів вибору підрахуємо по формулі комбінацій: .

Приклад 5. У змаганнях бере участь 10 людей, троє з них займуть 1-е, 2-е, 3-е місце. Скільки існує різних варіантів?

Розв'язок. Число різних варіантів дорівнює:

Приклад 6. Скільки існує способів розміщення 10 книг на полиці?

Розв'язок. Загальне число способів розміщення визначається як число перестановок з 10 елементів і дорівнює Р₁₀ = 10! = 3 628 800.

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

1. Скількома способами можна переставити числа 1,2,3...,N так, щоб числа 1,2,3 стояли підряд у порядку зростання?

2. Скільки способів існує для того, щоб з колоди у 36 гральних карт обрати 4 карти різної масті?

3. Скільки існує різних перестановок чисел 1,2,...,10, в яких числа 1,3,5 стоять на непарних місцях?

4. Скількома способами можна переставити числа 1,2,..., N щоб при цьому 1 та 2 не стояли поруч ?

5. Скільки існує способів вибрати 9 карт з колоди у 36 карт, щоб серед них був рівно один туз?

6. Скільки є способів з колоди з 52 карт вибрати 5 карт, серед яких будуть карти всіх мастей ?

7. У футбольній першості визначаються золотий, срібний, бронзовий призери, а також пара команд, що залишать вищу лігу. У першості беруть участь 18 команд. Скількома різними способами можуть бути визначені результати першості ?

8. Пасажир забув свій чотиризначний шифр камери схову. Він лише пам'ятає що в шифрі всі цифри різні і зустрічається число 12. Скільки варіантів шифру йому треба перебрати, щоб гарантовано відкрити свою камеру ?

9. Скільки існує тризначних чисел з різними цифрами.

10. Скільки існує способів вибору одного олівця з коробки, що містить 5 червоних, 7 синіх, 3 зелених олівці?

11. У змаганнях бере участь 20 чоловік, троє з них займуть 1-е, 2-е, 3-е місце. Скільки існує різних варіантів розподілу місць?

12. Компанія має чотири відділи: з виробництва продукції, відділ постачання, що займається забезпеченням сировини, а також відділи менеджменту й маркетингу. Кількість людей у кожному з відділів 55, 30, 21 й 13 відповідно. Кожен відділ збирається послати одного представника на щорічну зустріч із директором компанії. Скільки різних груп для зустрічі можна скласти із числа працівників компанії?

13. Директор корпорації розглядає заяви про прийом на роботу 10 випускників університету. На одному з підприємств корпорації є три різних вакансії. Скількома способами директор може заповнити ці вакансії?

14. 25 учасників річних зборів акціонерів претендують на пости: голови, секретаря, скарбника і чотири інших поста в правлінні. Скільки існує різних способів розподілити між ними обов’язки?

15. Є 20 найменувань товарів. Скількома способами їх можна розподілити по трьох магазинах, якщо відомо, що в перший магазин повинно бути доставлено 8, у другий - 7, а в третій - 5 найменувань товарів?

16. Набираючи номер телефону абонент забув 3 останні цифри і пам'ятаючи, що вони різні, набрав їх навмання. Знайти кількість безуспішних спроб.

17. Номер автомобільного причепа складається з двох букв та чотирьох цифр. Скільки різних номерів можна скласти, використовуючи 30 букв та 10 цифр?

18. Скільки можливих слів можна скласти, переставляючи букви в слові АМОРТИЗАЦІЯ?

19. Скільки двозначних чисел можна скласти із чотирьох карток із цифрами 1, 8, 6, 7?

20. Скільки можливих слів можна скласти, переставляючи букви в слові ВІДОБРАЖЕННЯ?

21. 8 авторів повинні написати книгу з 21 глави. Скількома способами можна розділити матеріал між авторами, якщо 2 чоловіки напишуть по 3 глави, 3 - по 2 глави, а 3 - по 1?

22. Скількома різними способами можна вибрати 5 осіб на 5 різних посад з 13 кандидатів?

23. Скільки різних натуральних чисел можна скласти із цифр 0,1,2,3,4, щоб у кожне таке число кожна із цих цифр входила не більше одного разу

24. Скількома способами можна розставити 4 книги з алгебри й 3 з геометрії, щоб всі книги з геометрії стояли поруч.

25. На книжковій полиці міститься 30 томів енциклопедії. Скількома способами їх можна розставити так, щоб А- том 1 і 2 стояли поруч; В - том 3 і 4 стояли поруч?

26. У вазі пронумеровані 7 червоних й 6 рожевих квіток. Скількома способами можна вибрати з вази А- 5 квіток; В - 5 квіток одного кольору; С - 5 квіток, щоб були й рожеві та червоні?

27. Скільки команд для гри в Що? Де? Коли? можна скласти з 8 чоловік, якщо в команду повинно входити 6 чоловік?

28. 8 авторів повинні написати книгу з 16 глав. Скількома способами можна розділити матеріал між авторами, якщо 2 чоловіки напишуть по 3 глави, 4 - по 2 глави, а 2 - по 1?

29. Із цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 скласти шестизначні числа з різних цифр. Визначити кількість таких чисел, у яких є цифри 1,2,3 одночасно.

30. У вазі пронумеровані 15 червоних й 5 рожевих квіток. Скількома способами можна вибрати з вази - 4 квітки; - 4 квітки одного кольору; - 4 квітки, щоб були й рожеві й червоні?

31. Комісія складається з голови, заступника й 7 чоловік. Скількома способами 9 членів комісії можуть розподілити між собою обов'язки?

32. Скількома способами можна вибрати 4 особи на 4 однакових посади з 13 кандидатів?

33. Монета підкидається 20 раз. Яка ймовірність того, що при цьому герб з'явиться 7 або 17 раз?

34. Скільки можливих слів можна скласти, переставляючи букви в слові ЕКОНОМІКА?

35. Скільки чотиризначних цифр можна скласти із чисел 3,5,1,6, якщо цифри не повторюються?

Практичне заняття 3. Класичне означення ймовірності

Класичне означення ймовірності: нехай ми всього маємо n різних можливостей однакової ймовірності. Якщо випадкову подію А складають m із цих можливостей, то для ймовірності події А маємо рівність .

Для використання класичного означення ймовірності нам треба окремо підрахувати m та n. Це фактично дві комбінаторні задачі, і при їх розв'язанні використовуються формули комбінаторики. Як правило, підрахунок кількості m - складніший за підрахунок n. Звертаємо увагу, що можливості, які тут розглядаються, мають бути рівноможливими, тобто ніяка з них не повинна відбуватися частіше за якусь іншу.

Один з поширених прийомів, що часто допомагають знайти ймовірність події А, - це перехід до розглядання ймовірності протилежної події і використання рівності . Особливо зручно розглядати протилежну подію, коли в умові задачі питається про ймовірність того, що якась можливість зустрінеться у нас хоча б раз. Тоді ймовірність протилежної події (наша можливість не зустрінеться жодного разу), як правило, підрахувати легше.

Приклад 7. Партія складається з 10 стандартних (С) і 5 нестандартних (Н) деталей. Із партії навмання беруть 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей 3 виявились стандартними.

Розв’язок. Подія А — «серед 5 деталей 3 стандартні, а 2 нестандартні». Деталі беруться навмання, тому можливою елементарною подією є будь-яка група з 5 деталей, що вибрали із 15 деталей. Щоб визначити, до якого типу підмножин належать ці групи, розглянемо одну з них. Нехай у групі виявилося 2 стандартні і 3 нестандартні деталі, тобто маємо . Виконаємо у групі довільне переставлення, наприклад, Група не змінилась — у ній як було, так і залишилося 2 стандартні деталі. Отже, порядок у групі неістотний, тому вони належать до комбінацій. Усі елементарні події рівноможливі, для обчислення ймовірності застосуємо формулу класичного означення ймовірності.

Загальна кількість елементарних подій

Щоб обчислити кількість елементарних подій, які становлять подію А, міркуємо так: 3 стандартні деталі з 10 можна вибрати способами, а 2 нестандартні з 5 — способами. Отже,

Остаточно дістаємо:

Приклад 8. За умовами прикладу 7 знайти ймовірність зазначеної події, якщо деталі беруться з поверненням.

Розв’язок. Подія А — «серед 5 узятих деталей 3 виявились стандартними, а 2 бракованими». Деталі беруться з поверненням, кожна з них може бути взята повторно, тому елементарна подія — розміщення з повторенням, загальна кількість елементарних подій Визначимо m. Три стандартні з 10 деталі можна вибрати способами, 2 нестандартні з 5 можна вибрати способами, тобто маємо 25 000 способів. Крім того, треба врахувати, що таких груп може бути Тоді Остаточно маємо:

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

1. Кинуто два гральних кубика. 3 якою ймовірністю сума очок, що випадуть буде не менше 9?

2. В партії з 50 виробів є 5 бракованих. 3 партії навмання беруться 6 виробів. 3 якою ймовірністю серед них буде 2 бракованих?

3. В урні 2 білих, 3 чорних та 5 синіх куль. З урни навмання без повернення витягують дві кулі. Знайти ймовірність того, що вони матимуть однаковий колір.

4. На екзамен виносяться 30 питань. Студент знав відповіді на 10 питань. Екзаменатор задає студентові 3 питання і ставить "незадовільно", якщо не отримує відповіді на жодне з них. Знайти ймовірність того, що студент складе екзамен.

5. У класі вчаться 20 дівчаток і 10 хлопчиків. Вирішено за допомогою жереба розподілити серед учнів 4 квитка до театру. 3 якою ймовірністю їх отримають дві дівчинки та два хлопчика?

6. Кинуто два гральних кубика. 3 якою ймовірністю сума очок, що випала буде не більшою за 4?

7. В урні містяться 5 куль різних кольорів. Із урни 10 разів виймають кулю з поверненням. Знайти ймовірність того, що в цій виборці по 2 рази зустрінеться куля кожного кольору.

8. На екзамен виносяться 10 питань. Екзаменатор задає студенту два питання і ставить "відмінно", якщо отримує відповіді на обидва. З якою ймовірністю студент одержить "відмінно"?

9. В урні знаходяться 2 білих та 3 чорних кулі. З урни навмання з поверненням виймають дві кулі. Знайти ймовірність того, що вони матимуть однаковий колір.

10. В лотереї беруть участь 100 квитків, серед яких 10 виграшних. Хтось купує 20 квитків. Знайти ймовірність того, що серед них хоча б один виграє.

11. В ліфті 8 пасажирів, ліфт зупиняється на 12 поверхах. Знайти ймовірність того, що якісь два пасажира вийдуть на одному і тому ж поверсі.

12. Колода з 52 гральних карт роздається порівну серед 4 гравців. Знайти ймовірність того, що у кожного гравця буде по одному тузу.

13. Із колоди з 36 гральних карт виймаються навмання 6 карт. Знайти ймовірність того, що серед них буде хоча б один туз.

14. При наборі телефонного номера абонент забув три останні цифри і набрав їх навмання, пам’ятаючи лише, що вони непарні та різні. Знайти ймовірність того, що номер набраний правильно.

15. З партії, що складається з 40 виробів, серед яких 8 нестандартних, для контролю вибирається 20 виробів. Знайти імовірність того, що всі 20 виробів будуть стандартними.

16. Бібліотека складається з десяти різних книг, причому п'ять книг коштують по 4 грн. кожна, три книги - по 1 грн. і дві книги - по 3 грн. Знайти ймовірність того, що узяті навмання дві книги коштують 5 грн.

17. В ящику є 15 деталей, серед яких 10 пофарбованих. Збирач випадково витягає 3 деталі. Знайти імовірність того, що витягнуті деталі виявляться пофарбованими.

18. В електричну мережу включено 4 лампочки. При проходженні електричного струму в мережі кожна лампочка з певною ймовірністю може перегоріти або не перегоріти. Побудувати простір елементарних подій - кількість лампочок, які не перегорять. Знайти ймовірність того, що із чотирьох лампочок перегорять не більше, ніж 2.

19. В електричну мережу включено 4 лампочки. При проходженні електричного струму в мережі кожна лампочка з певною ймовірністю може перегоріти або не перегоріти. Побудувати простір елементарних подій - числа лампочок, які не перегорять. Знайти ймовірність того, що із чотирьох лампочок перегорять не менше, ніж 3.

20. Сім спортсменів повинні виконати норму майстра спорту. Кожний з них може її виконати з певною ймовірністю. Яка ймовірність того, що із чотирьох спортсменів норму майстра спорту виконають не більше ніж 2 спортсмена?

21. Чотири спортсмени повинні виконати норму майстра спорту. Кожний з них може її виконати з певною ймовірністю. Яка ймовірність того, що із чотирьох спортсменів норму майстра спорту виконають не більше ніж 3 спортсмена?

22. На кожній із шести однакових карток записана одна з букв Я, І, Р, Е, О, Т. Яка ймовірність того, що картки, що навмання розкладені в ряд, утворять слово ТЕОРІЯ?

23. На кожній з 11 однакових карток записана одна з букв М, И, Л, У, Ь, Д, М, Т, І, Е, Я. Яка ймовірність того, що картки, що навмання розкладені в ряд, утворять слово МУЛЬТИМЕДІЯ?

24. На кожній із шести однакових карток записана одна з букв А, С, А, Н, А, Н. Яка ймовірність того, що картки, що навмання розкладені в ряд, утворять слово АНАНАС?

25. Серед 25 студентів групи, у якій 12 дівчат, розігрується 6 квитків. Знайти ймовірність того, що серед власників квитків виявляться 4 дівчинки.

26. У партії з 12 деталей 7 бракованих. Знайти ймовірність того, що серед 6 узятих навмання деталей 4 стандартних?

27. Серед кандидатів у студентську раду факультету 3 першокурсники, 5 - другокурсників й 7 - третьокурсників. Із цього складу навмання вибирають 5 чоловік на конференцію. Знайти ймовірність наступних подій: А - будуть обрані одні третьокурсники; B - всі першокурсники потраплять на конференцію; C - не буде обрано жодного другокурсника.

28. З колоди в 52 карти виймають навмання 4 карти. Знайти ймовірності наступних подій: А - в отриманій вибірці всі карти бубнової масті; В - виявиться хоча б один туз.

29. Кидають 10 однакових гральних кісток. Знайти ймовірність наступних подій: А - на жодній кістці не випало 6; B - хоча б на одній кістці випало 6; C - рівно на 3-х кістках випало 6.

30. З п'яти букв розрізної абетки складене слово "книга". Дитина, що не вміє читати, розсипала ці букви й потім зібрала в довільному порядку. Знайти ймовірність того, що в неї знову вийшло слово "книга".

31. У коробці 8 однакових виробів, причому 6 з них пофарбовані. Навмання витягнуті два вироби. Знайти ймовірність, що серед двох виробів, що були витягнуті виявляться: - один пофарбований; - два пофарбованих; - хоча б один пофарбований виріб.

32. З 10 білетів виграшних є 2. Визначити ймовірність того, що серед навмання взятих 5 білетів хоча б один буде виграшним.

33. З 20 посібників із математики 3 з теорії ймовірностей. Студент навмання узяв два посібника. Знайти ймовірність того, що серед узятих: а) немає посібників з теорії ймовірностей; б) один посібник з теорії ймовірностей.

34. З коробки, в якій знаходиться 10 ламп, виймають випадковим чином 4 лампи. Яка ймовірність того, що буде вийнята рівно одна згоріла лампа, якщо в коробці знаходиться 3 згорілі і 7 якісних лампочок?

35. На складі є 12 телевізорів, з яких 8 імпортного виробництва. Знайти ймовірність того, що серед п'яти навмання узятих телевізорів: 1) виявиться більше 2 імпортних; 2) всі будуть вітчизняного виробництва.

Практичне заняття 4. Основні теореми теорії ймовірності. Поняття умовної ймовірності або незалежності випадкових подій.

.