1. Идеальный линейный индуктор

Пусть через линейный индуктор с индуктивностью L протекает ток силой . Как известно, напряжение индуктора определяют по формуле Фарадея

Перейдем к операторной записи этого выражения. Применяя теорему дифференцирования, получаем:

где – операторное сопротивление индуктора.

Считая, что изображения процессов аналогичны по свойствам самим процессам – функциям времени и , строим по полученному уравнению схему замещения по привычным правилам электротехники. Так как изображения напряжений складываются, то цепь – последовательная вида:

Для описания второго слагаемого в цепь введен управляемый начальным током источник напряжения.

Разрешив уравнение относительно изображения силы тока, получаем

Этой формуле соответствует схема параллельной цепи с источником тока

2. Идеальный линейный конденсатор

Переписав в операторных обозначениях уравнение конденсатора

переходим к формуле ,

где – операторная проводимость конденсатора.

Эта формула иллюстрируется следующей схемой:

Р азрешив операторную формулу относительно изображения , переходим к схеме .

Как видно, все схемы – двухэлементные. Тем самым наглядно представлена двуединая природа энергоемких элементов. Они и пассивные элементы, и источники.

Источники в операторных схемах замещения индуктора создают ток, согласный с внешним (общим) током элемента. Это соответствует закону Ленца. Наоборот, ток источника в схемах конденсатора противоположно направлен относительно общего тока. Это отражает тот факт, что конденсатор мешает изменению своего состояния, т.е. своему заряду или разряду.

Заметим теперь, что операторная схема замещения идеального резистора совпадает с его УГО.

Заменяя УГО элементов схемы замещения их операторными схемами, мы получаем операторную схему замещения всей цепи.

Нахождение оригинала по изображению. Метод вычетов

Многолетняя практика применения операторного метода к расчету режима цепей показывает, что нахождение изображений заданных сигналов не представляет проблемы. Для этого применяют детально проработанные таблицы изображений и учитывают свойства преобразования Лапласа. Затруднения возникают обычно при решении обратной задачи – нахождении оригинала, т.е. мгновенных значений сигнала по их изображениям. Поэтому остановимся на этих вычислениях подробнее.

На основании теоремы О. Коши о вычетах оригинал f(t) находят по формуле

где символом указано, что суммирование ведется с учетом всех полюсов подынтегральной функции обратного преобразования Лапласа.

Символ есть обозначение вычета подынтегральной функции в её k –том полюсе.

Так как встречающиеся на практике электро- и радиотехнических расчетов изображения есть дробно-рациональные функции, т.е. отношения двух полиномов от вида

то каждый вычет подынтегральной функции, имеющей в точке простой, однократный полюс, определяется формулой

Как видно, интегрирование на плоскости комплексной переменной сводится к дифференцированию, что гораздо проще и удобнее.

Пример расчета операторным методом

Найдем ещё раз реакцию последовательной цепи RLC на включение источника постоянного напряжения Е.

С хема цепи

Этапы расчета:

1. Оговорим начальные условия задачи:

2. Найдем изображение задающего напряжения источника. Так как

то изображение

3. Составляем операторную схему замещения с учетом начальных условий и операторных сопротивлений элементов для моментов .

Здесь для удобства вычислений применены последовательные схемы замещения элементов;

4. Ищем изображение силы тока в цепи. По закону Ома для комплексных амплитуд

Запись знаменателя этого выражения нам знакома. Известно, что , где – коэффициент затухания, , т.е. квадрат резонансной частоты. Значит знаменатель имеет вид

Приравняв этот квадратичный полином нулю, получаем характеристическое уравнение цепи. Корни этого уравнения есть собственные частоты цепи, или, что, то же самое, полюсы функции .

5. Ищем силу тока по его изображению . При этом учтем, что нам известны координаты полюсов изображения. Они равны

и, в общем случае являются простыми корнями с разными значениями. Поэтому искомую силу тока ищем по формуле вычетов как

где

Аналогично

Тогда сила тока

Полученный результат не отличается от того, что получен при решении дифференциального уравнения цепи. При этом решение операторным методом заметно проще, т.к. оно с самого начала включает заданные начальные условия.