1. Единичный отсчет

где n- число тактов сдвига единичного отсчета.

При n=0, т.е., когда

Из сравнения полученных результатов следует важный вывод:

При задержке дискретного сигнала на n тактов его Z-изображение домножается на (т.к. на него умножаются все его отсчеты!). Функция описывает задержку дискретного сигнала на один такт. Z- изображение не задержанного отсчета равно единице.

2. Единичная ступенчатая последовательность

имеет Z-изображение.

3. Найдем отсчеты дискретного сигнала, имеющего Z-изображение вида

По формуле обратного преобразования

Для нахождения этого интеграла учтем формулу О. Коши

Тогда

При . При . При .

Значит, получается сигнал с двумя отсчетами вида

Важнейшим свойством Z-преобразования является свойство свертки:

Если дискретные сигналы свертываются, то их Z-изображения перемножаются.

Если

то дискретная свертка

При этом

Линейные дискретные цепи

Элементы линейных дискретных цепей

Дискретной цепью называют электрическую цепь, предназначенную для передачи и преобразования дискретных сигналов.

Дискретную цепь называют линейной, если она производит над передаваемыми дискретными сигналами только максимум три операции: умножение отсчетов сигналов на число, задержка сигнала во времени на целое число тактов и сложение. Линейная цепь содержит не более трех типов элементов.

1. Элемент задержки осуществляет задержку отсчетов сигналов на один такт Т. Его обозначения

Уравнение элемента задержки

Последний вариант УГО показывает, что задержке сигнала на один такт Т соответствует умножение его Z-изображения на .

2. Умножитель на число есть устройство для изменения уровней отсчетов в заданное число раз.

Уравнение умножителя

где К– коэффициент передачи.

Варианты обозначения умножителя на число

3. Сумматор сигналов или сумматор последовательностей есть устройство для сложения одновременных (!) отсчетов входных сигналов.

Уравнение сумматора

Варианты обозначений

Пример нелинейной дискретной цепи: цепь, определяющая медиану входных отсчетов, т.е. такой из отсчетов, для которого сумма отсчетов до него равна сумме отсчетов после него.

Лекция № 16 Дискретные цепи и сигналы. Общая теория

Урок 2. Общие уравнения и функции дискретной линейной цепи

Общее уравнение дискретной линейной цепи

Физически реализуемые дискретные цепи для формирования выходного сигнала в некоторый -ый дискретный момент времени могут использовать только следующие данные:

1. значение входного сигнала в момент -го отсчета;

2. некоторое конечное число М прошлых, предшествующих отсчетов входного сигнала

где k – текущий номер отсчета;

3. некоторое конечное число N предшествующих отсчетов выходного сигнала

где l – номер текущего отсчета.

Целые числа M и N определяют порядок дискретной цепи.

Над множеством указанных данных линейная цепь может производить только операции домножения на постоянные коэффициенты, сложения и временного сдвига на конечное число тактов Т.

С учетом изложенного алгоритм действия всякой линейной дискретной цепи описывается разностным уравнением вида

или в развернутом виде

где и – множества коэффициентов передачи.

Тогда структурная схема цепи:

В структурной схеме слева отмечены операции задержки и взвешивания задержанных входных сигналов . Справа приведены цепи задержки и взвешивания отсчетов выходного сигнала, возвращенного обратно на вход цепи наравне с отсчетами . Эту правую часть цепи называют цепью обратной связи. Соответственно, часть цепи, изображенную слева и описывающую обработку значений входного сигнала, называют трансверсальной цепью.

В общем случае дискретная цепь состоит из трансверсальной цепи и цепи обратной связи. Дискретную цепь, содержащую цепь обратной связи, называют рекурсивной.

Системная функция дискретной цепи

Системной функцией для дискретной цепи называют отношение Z-изображений сигнала на выходе цепи к Z- изображению сигнала на его входе, т.е.

Найдем системную функцию изображенной рекурсивной цепи. Для этого применим к общему уравнению Z-преобразования. Тогда получим уравнение в Z- изображениях:

откуда системная функция

В отсутствие обратной связи, когда , получаем системную функцию трансверсальной цепи

Соответственно, при наличии одних цепей обратной связи, когда при и .

а системная функция рекурсивной цепи общего вида есть произведение

Дискретные преобразования Лапласа

Как уже отмечалось, изображения по Лапласу любых дискретных сигналов с конечными отсчетами тождественно равны нулю. В то же время, при введении неограниченных отсчетов изображения становятся функциями с конечными значениями.

Пусть некоторый дискретный сигнал есть последовательность конечных отсчетов , т.е.

Заменим в этой формуле единичные отсчеты на совпадающие с ними во времени -функции Дирака . Тогда получаем вариант записи сигнала

Новый сигнал сохраняет информацию об отсчетах . Они есть «амплитуды» или «уровни» -импульсов.

Найдем изображение по Лапласу функции .

Согласно свойству стробирования -функции

Значит,

Полученные выражения называют дискретным преобразованием Лапласа.

Можно показать, что есть изображение производной от .

Отсчет дискретного сигнала можно найти по его дискретному изображению применяя обратное дискретное преобразование Лапласа

Необходимо отметить, что дискретное изображение сигнала по Лапласу является трансцендентной функцией от как взвешенная сумма экспонент. Это затрудняет применение дискретного преобразования Лапласа при расчетах.

Функция передачи и частотные характеристики дискретных цепей

Для нахождения операторной функции передачи сравним формулы Z-преобразования и дискретного преобразования Лапласа

Как видно, для перехода от Z- изображения сигнала к дискретному изображению по Лапласу достаточно совершить замену переменных

Поэтому, операторная функция передачи как отношение изображений по Лапласу выходного и входного сигналов

Соответственно, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

и фазо-частотная характеристика (ФЧХ)

Все эти функции содержат экспоненты. Так как каждая экспонента вида является периодической функцией частоты, то комплексная функция передачи – , АЧХ – и ФЧХ – суть периодические функции. Их частотные (!) периоды или определяют из условия

откуда

Значит, период по циклической частоте есть величина, обратная периоду дискретизации сигнала Т, т.е. периоду взятия отсчетов.

С учетом отмеченной периодичности обычно рассматривают частотные характеристики как функции от нормированной частоты

Импульсная характеристика дискретной цепи

Импульсной характеристикой дискретной цепи называют её реакцию на воздействие в виде единичного отсчета действующего в момент времени .

Импульсная характеристика как всякая реакция дискретной цепи является дискретным сигналом. Обозначив отсчеты импульсной характеристики как , запишем мгновенные значения этого сигнала

Отсчеты дискретного сигнала на выходе дискретной линейной цепи есть свертка отсчетов входного сигнала и импульсной характеристики, определяемая формулой

Поэтому, Z-изображение выходного сигнала по теореме об изображении свертки есть произведение Z-изображений входного сигнала и импульсной характеристики.

Но, с другой стороны, Z-изображение выходного сигнала

где – системная функция цепи. Значит

Z-изображение импульсной характеристики дискретной цепи есть системная функция . В операторной записи

Соответственно, импульсная характеристика есть обратное Z-преобразование от системной функции, т.е. её отсчеты

Лекция 17. Примеры дискретных цепей

Урок 1. Цепи первого порядка

Трансверсальная цепь первого порядка

На структурной схеме цепи первого порядка имеется только одна цепь задержки входного дискретного сигнала и два умножителя с коэффициентами передачи .

Согласно приведенной схеме импульсная характеристика цепи как реакция на действие на входе единичного отсчета

а системная функция согласно общей формуле равна

Как видно, коэффициенты при степенях переменной совпадают с коэффициентами импульсной характеристики. Число слагаемых в записи импульсной характеристики равно числу коэффициентов передачи умножителей.

Для получения частотных характеристик сделаем в выражении для системной функции замену переменной

Тогда комплексная функция передачи

При этом амплитудно-частотная характеристика цепи

Фазо- частотная характеристика

Частотные характеристики, как и ожидалось, суть периодические функции частоты с периодом .

Примем для определенности, что коэффициент . Построим семейство АЧХ цепи при значениях коэффициента .

При этом ограничимся только одним периодом АЧХ.

Кроме этих графиков штрихами выделен график АЧХ при .

Как видно из графиков, при цепь является режекторным фильтром с частотой бесконечного ослабления .

Строго говоря, из-за периодичности АЧХ частоты бесконечного ослабления повторяются через равные периоды бесчисленное (счетное) число раз. Фильтры с периодическими частотными характеристиками называют гребенчатыми. Так что мы рассматриваем пример гребенчатого режекторного фильтра.

Тот факт, что АЧХ фильтра периодическая, не имеет принципиального значения. Если частоты аналоговых сигналов на входе фильтра, подвергшихся дискретизации с тактом Т, подчиняются условию , то периодичность АЧХ можно не учитывать. Выходной восстановленный аналоговый сигнал будет таким же, как будто он прошел цепь с АЧХ, имеющей один период по частоте и одну частоту бесконечного ослабления .

В случае, когда и , выделенном штриховой линией, рассматриваемая цепь есть дискретный дифференциатор, т.е. устройство, вычисляющее производную входного сигнала через конечные приращения.

Действительно, при таких значениях коэффициентов выходной сигнал

Если ещё принять, что , то

Системная функция дифференциатора

а импульсная характеристика

Рекурсивная цепь первого порядка

Эта цепь имеет одну цепь (петлю) задержанной обратной связи.

Её структурная схема:

Найдем сначала частотные характеристики.

Согласно общей формуле при и системная функция

Комплексная функция передачи цепи

Тогда амплитудно-частотная характеристика

Вид АЧХ фильтра существенно зависит от значений коэффициента , и, особенно, от его знака.

Построим семейство АЧХ для некоторых значений коэффициента .

Частота среза

Как видно, АЧХ опять периодическая. При максимумы первого периода при , а при максимум при .

Значит, при эту цепь можно применить как ФНЧ или ФВЧ.

При получается ППФ.

При , а , а также при при .

Тогда получается дискретный интегратор сигналов.

Найдем теперь импульсную характеристику с помощью обратного Z-преобразования. При этом учтем, что системная функция может быть разложена в бесконечный степенной ряд.

Поэтому отсчеты импульсной характеристики

Учтем теперь, что интегралы О.Коши

поэтому и вся импульсная характеристика

Значит, отсчеты импульсной характеристики есть коэффициенты разложения системной функции в ряд по неположительным степеням переменной .

Заметим также, что импульсная характеристика данной рекурсивной цепи содержит счетное число отсчетов. Причина этого – наличие цепи обратной связи.

Дискретные цепи, импульсная характеристика которых содержит счетное (бесконечное) число отсчетов, называют цепями с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-цепями).

Соответственно, цепи, у которых импульсная характеристика состоит из конечного числа отсчетов, называют цепями с конечной импульсной характеристикой (КИХ-цепями).

Рекурсивные цепи – это, как правило, БИХ-цепи. В то же время трансверсальные цепи обязательно являются КИХ-цепями.

Построим графики импульсных характеристик для случаев, когда и . Учтем, что множество отсчетов есть множество отсчетов непрерывной экспоненты в дискретные моменты времени с декрементом, равным , и шагом, равным .

Действительно, если огибающая множества отсчетов есть экспонента , то отношение уровней соседних отсчетов

т.е. коэффициент затухания огибающей

Поэтому построение импульсной характеристики начнем с построения непрерывной экспоненциальной огибающей

1. при

В этом случае импульсную характеристику зовут дискретной экспонентой. Её огибающая такая же, как импульсные характеристики аналоговых ФНЧ и ФВЧ первого порядка, с постоянной времени и частотой среза

При получаем дискретную функцию Хэвисайда как характеристику интегратора.

Теперь импульсная характеристика знакопеременна. Такие процессы называют дискретными колебаниями. В данном случае можно считать, что рассматриваемая дискретная функция есть множество отсчетов убывающей по экспоненте косинусоиды, взятых через полпериода этой косинусоиды. Значит, при имеем импульсную характеристику, подобную одноименной характеристике полосно-пропускающего фильтра второго порядка.

Заметим, что получающийся полосовой фильтр имеет слишком высокий коэффициент передачи в полосах задерживания – около 0,5. Этот недостаток ограничивает его применение.

Лекция 17. Примеры дискретных цепей

Урок 2. Дискретный резонатор

Примем для упрощения расчетов, что и . Кроме того, коэффициент запишем со знаком «минус», т.к. полярность задержанных сигналов изменена на противоположную. Об этом свидетельствуют значки «о» на входах умножителей.

Тогда, согласно общей формуле

(В знаменателе знак «+» из-за инверсии задержанного сигнала).

Определяем комплексную функцию передачи

Тогда амплитудно-частотная характеристика

(Выразили функцию только через !)

Соответствующий анализ показывает, что при изменении нормированной частоты в пределах от 0 до , т.е. в пределах половины частотного периода функции , она имеет единственный максимум при .

При этом при

На частотах и имеем значение . Значит, получается хороший полосовой фильтр.

Построим семейство графиков АЧХ дискретного резонатора для различных значений параметра .

Из графиков видно, что полоса пропускания фильтра тем меньше, а максимальный коэффициент передачи тем больше, чем ближе коэффициент к единице. При фильтр теряет устойчивость.

Для нахождения импульсной характеристики разложим системную функцию на два слагаемых, т.е. представим, что

Таким образом будем считать, что дискретный резонатор состоит из двух одинаковых цепей с функциями

но на одну из них входной сигнал поступает с задержкой на два такта и с изменением знака.

Системная функция каждого из двух фильтров аналогична системной функции ранее рассмотренного рекурсивного фильтра первого порядка. Отличие в том, что у рассматриваемых теперь цепей происходят задержка выходного сигнала не на один, а на два такта. Учитывая эту особенность, подставим в известную импульсную характеристику прототипа – рекурсивного фильтра первого порядка, вместо задержки задержку , и вместо коэффициента коэффициент .

Тогда импульсная характеристика «первой» цепи, на которую поступает незадержанный входной сигнал,

Это, как известно, дискретное колебание с экспоненциальными огибающими.

Изобразим импульсную характеристику «первой» цепи , и, затем, в тех же масштабах, импульсную характеристику «второй» цепи, на которую подается входной сигнал, задержанный на два такта.

Теперь учтем, что искомая импульсная характеристика

и вычтем полученные графики

Итак, импульсная характеристика дискретного резонатора имеет вид дискретных колебаний. При этом их огибающая убывает с коэффициентом затухания .

Начальное значение характеристики «выбивается» из ряда остальных значений, так как в момент выходной сигнал существует только на выходе «первой» цепи, из которых резонатор состоит.

Дискретные резонаторы аналогичны по своим свойствам аналоговым резонансным цепям, используемым как полосовые фильтры.

При высоких значениях параметра дискретные резонаторы подобны аналоговой резонансной цепи второго порядка с добротностью

и резонансной частотой

и относительная полоса пропускания

Она изменяется от значения 1 при до значения 0 при .

Если для значений принять , где , то получаются простые выражения для параметров фильтра: