12. Теория Кронекера-Капелли
Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
Необходимость
Пусть система совместна.
Тогда существуют числа 
такие,
что 
.
Следовательно, столбец 
является
линейной комбинацией столбцов 
матрицы
.
Из того, что ранг матрицы не изменится,
если из системы его строк (столбцов)
вычеркнуть или приписать строку
(столбец), которая является линейной
комбинацией других строк (столбцов)
следует, что 
.
Достаточность
Пусть 
.
Возьмем в матрице
какой-нибудь
базисный минор. Так как 
,
то он же и будет базисным минором и
матрицы
.
Тогда, согласно теореме о базисном миноре,
последний столбец матрицы
будет
линейной комбинацией базисных столбцов,
то есть столбцов матрицы
.
Следовательно, столбец свободных членов
системы является линейной комбинацией
столбцов матрицы
.
13. Матричная запись системы линейных уравнений
Систему из линейных уравнений с неизвестными
можно представить в матричном виде
и тогда всю систему линейных уравнений можно записать так:
,
где
имеет
смысл таблицы коэффициентов
системы
линейных уравнений.
Матрица - называется основной матрицей.
Матрица с дописанным столбцом - расширенной
Если 
и
матрица
невырожденная,
то решение этого уравнения состоит
в нахождении
обратной матрицы
,
поскольку умножив обе части уравнения
на эту матрицу слева
—
превращается в 
(единичную
матрицу). И это даёт
возможность получить столбец корней
уравнений
.
Все правила, по которым проводятся операции над матрицами, выводятся из операций над системами уравнений.
14. Метод решения системы с помощью обратной матрицы
Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения слева на (порядки матриц A ⋅ X и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как , а по определению обратной матрицы (E – единичная матрица порядка n на n), поэтому
Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы .
Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.
15. Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля.
Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)
с определителем матрицы системы 
,
отличным от нуля, решение записывается
в виде
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:
Пример
Система линейных уравнений:
Определители:
Решение:
