25. Разложение вектора по ортам координатных осей

Орт координатной оси   обозначается через  , оси   - через  , оси   - через   (рис.1).

Для любого вектора   , который лежит в плоскости   , имеет место следующее разложение:

Если вектор   расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид: 

26. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Зная проекции вектора а , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать

 

Отсюда

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны α, β, γ . По свойству проекции вектора на ось, имеем

Или, что то же самое,

Числа    называются направляющими косинусами вектора а.

Подставим выражения (5,5) в равенство (5,4), получаем

Сократив На  получим соотношение

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

27. Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы а=(a_x; a_y; a_z) и b=( b_x; b_y; b_z) заданы своими проекциями на оси координат Ox,Oy,Oz или, что то же самое

а = а_х •i + а_у • j +а_z • k,    b =b_х • i + b_у • j + b_z • k.

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

1. а ± b = (а_х±b_х)i + (а_у±b_y)j + ( a_z± b_z)k, или кратко а ± b = (а_х ±b_x; a_y± b_y; a_z ± b_z). To есть при сложении (вычитании) векторових одноименные координаты складываются (вычитаются).

2.  α а = αа_х • i + αа_у • j + αa_z • k или короче αа = (αа_х; α а_у; α а_z). То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

28. Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанное произведение определяется для трех векторов, заданных в трехмерном пространстве.

Определение.

Смешанным произведением трех векторов   и   называется действительное число, равное скалярному произведению векторов   и  , где   - векторное произведение векторов   и  .

Из определения понятно, почему смешанное произведение часто называют векторно-скалярным произведением.

Смешанное произведение векторов   и   обычно обозначают  . В таких обозначениях по определению смешанного произведения  .

Свойства смешанного произведения.

Из свойств векторного произведения и свойств скалярного произведения следуют следующиесвойства смешанного произведения:

1. ;

2. ;

3. 

Очевидно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение также равно нулю, если хотя бы два умножаемых вектора равны.

Действительно, если  , то по определению векторного произведения  , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как  . Если же   или  , то угол между векторами   и  равен  , следовательно, по определению скалярного произведения векторов  .

Свойства смешанного произведения обычно применяются при доказательстве тождеств или неравенств.