4.4 Статистична обробка даних гдс та петрофізики.

Петрофізичне забезпечення комплексної інтерпретації матеріалів ГДС включає в себе наступні елементи:

- наявність петрофізичних зв’язків, які дозволяють перейти від геофізичних параметрів до параметрів, що характеризують літологію та фільтраційно-ємнісні властивості гірських порід;

- визначення граничних значень різноманітних фізичних параметрів, характерних для кожного виділеного літотипу.

Початкову інформацію про геологічний об'єкт, що вивчається, умовно можна поділити на дві наступні групи:

- дані, одержані про об'єкт, що вивчається, в лабораторіях в результаті обробки аналізу керна, проб пластової води, нафти, бурового розчину;

- дані, одержані в результаті обробки геофізичних досліджень свердловин.

Використовуючи спільно в різних комбінаціях (зв'язках) дані першої і другої груп, одержують нові відомості, які можна об'єднати в третю групу – змішаних даних.

Колекція зразків гірських порід (вибірка), яку використовують для побудови петрофізичних залежностей повинна задовольняти наступним умовам:

- включати в себе зразки всіх літотипів відкладів, що вивчаються (колекторів і не колекторів), тобто - бути представничою;

- число зразків у вибірці повинно відповідати вимогам математичної статистики.

Об’єм вибірки N залежить від ступеню неоднорідності розрізу, задач та технічних можливостей спостережень. В загальному випадку кількість незалежних спостережень N для оцінки чисельних характеристик з заданою точністю може бути розраховано за формулою:

N= 2,7 × λ² ( )

де λ = δ/ δ_т;

δ –середньоквадратичне відхилення розподілу

петрофізичного параметру;

δ_т – потрібна точність визначення параметру_.

Виходячи з цього, для характеристики однієї петрофізичної групи гірських порід, необхідно не менше як 20 – 30 взірців порід. Збільшення числа досліджуваних взірців порід у виборці сприяє зростанню ії точності, але не безмежно. Практично достовірною рахується вибірка, яка включає в себе 100 – 150 взірців.

Відповідно до початкових даних, залежності між тими або іншими параметрами можна розділити на:

а) лабораторні (керн – керн);

б) побудовані по параметрах, визначених в умовах свердловини (геофізика – геофізика);

в) одержані в результаті зіставлення параметрів різних груп (керн- геофізика).

По числу параметрів залежності діляться на двовимірні, коли вивчається зв'язок між двома параметрами, і багатовимірні, в яких вивчаються зв'язки між трьома і більше параметрами.

Багатовимірний зв’язок між шуканою ознакою і набором фізичних параметрів порід більш універсальний ніж двовимірний, так як встановлює залежність ознаки від суми факторів, наприклад залежність коефіцієнта проникності від середнього діаметра зерен, глинистості, питомої поверхні, пористості, звивистості порових каналів та інших параметрів.

Всі залежності, які зустрічаються при інтерпретації промислово-геофізичних даних, по своїй природі бувають: функціональними і статистичними (стохастичними).

Функціональний зв'язок – це такий зв'язок Т = f(x, y, z), в якому при заданих x, y, z змінна Т приймає цілком певні значення.

Стохастичний зв'язок – це такий зв'язок Т = f(x, y, z), в якому при заданих значеннях x,y,z змінна Т є випадковою величиною, і може з певною вірогідністю приймати деяке число різних значень.

Переважна більшість емпіричних зв'язків в промисловій геофізиці носить стохастичний характер. Це пояснюється величезним числом непостійних чинників, що визначають той або інший параметр, і що важко враховуються при побудові шуканого зв'язку, а також похибками при вимірюваннях.

Вивчення стохастичних залежностей проводиться за допомогою дисперсійного і кореляційного аналізів, і детально розглядається в курсах теорії вірогідності і математичної статистики.

Особливість кореляційного методу полягає в тому, що по деякій частині генеральної сукупності можна визначити її властивості в цілому.

Кінцевою метою дослідження кореляційного зв'язку між змінними величинами є виведення рівняння регресії (аналітичного виразу залежності) та його аналіз.

Перш ніж шукати зв'язок між випадковими величинами, треба з'ясувати:

- чи існують для цього фізичні передумови;

- чи знаходяться в кореляційному зв'язку одержані величини і параметри;

- чи буде цей зв'язок достатньо тісний, щоб використовувати його на практиці.

Спостерігаючи графічну кореляційну двохвимірну залежність (між двома ознаками), математична статистика прагне надати цьому зв’язку функціонального виду із найменшим відхиленням від спостережених, або емпіричних значень ознак. Коефіцієнти у рівняннях регресії визначаються за допомогою методу найменших квадратів. Принцип методу найменших квадратів полягає у тому, що сума квадратів відстаней емпіричних точок у_і від точок теоретичних ліній у_Т (по вертикалі) менша суми квадратів відстаней від любої лінії.

Кореляційні зв’язки і їх математичне зображення між окремими петрофізичними параметрами порід дозволяють прогнозувати параметр у, що вивчається за набором вимірюваних характеристик х (х₁, х₂… х_п).

Схема побудови кореляційного зв’язку включає в себе ряд послідовних дій.

Встановлюється характер зв’язку між визначеними фізичними параметрами гірських порід. Для цього необхідно побудувати графічну залежність між цими параметрами в двохкоординатній системі. Побудована залежність називається емпіричною лінією регресії.

Визначається тіснота взаємозв’язку між розглянутими параметрами. Тіснота взаємозв’язку оцінюється коефіцієнтом кореляції r (для прямолінійних залежностей) і кореляційним співвідношенням  (для криволінійних залежностей).

Коефіцієнт кореляції r визначають за наступними формулами:

; (15.2)

; (15.3)

; (15.4)

; (15.5)

; (15.6)

; (15.7)

де , – середньоарифметичні значення параметрів х і у;

N– кількість вимірів;

- середньоарифметичне значення добутку ху;

St_X, –середньоквадратичнІ відхилення (стандарти) величин х і у

Коефіцієнт кореляції r змінюється від +1 (у випадку прямопропорційного зв’язку) до –1 (у випадку обернено-пропорційного зв’язку). Чим слабший зв’язок між параметрами що вивчаються, тим менше абсолютне значення коефіцієнта кореляції.

Для розрахунку коефіцієнта кореляції складається таблиця.

Таблиця 15.1 -Результати розрахунків коефіцієнту кореляції

x	y	x-	(x- )2	y-	(y- )2	xy;
……. ……. …….	……. ……. …….	……. ……. …….	……. ……. …….	……. ……. …….	……. ……. …….	……. ……. …….
N =	N=
∑x =	∑y =		∑(x-x)2 =		∑(y-y)2 =	∑xy =
∑x = ----= N	∑y = ---= N					∑xy = -----= N

Показником тісноти зв’язку є також ступінь розходження між спряженими лініями регресії. Чим більший кут, під яким пересікаються лінії регресії, тим слабший зв'язок.

Спряженими лініями регресії називаються дві різні лінії регресії, в яких кожна з величин розглядається у якості аргумента і функції.

При криволінійних залежностях коефіцієнт кореляції r втрачає властивості показника тісноти звязку і його величина в цьому випадку завжди менша кореляційного співвідношення.

Відказатись від розрахунку коефіцієнта кореляції можна тільки у випадку, коли емпірична лінія регресії буде мати явно виражений криволінійний характер.

Для оцінки тісноти звязку між величинами, який має нелінійний характер, служить кореляційне співвідношення :

(15.8)

де – середнє квадратичне відхилення частних значень y_x від

загальної середньої y.

– загальна дисперсія, яку обраховують за формулою (15.7);

Для розрахунку значення використовують формулу:

1

² =------ ×∑ n_x y_x² – ² (15.9)

N

де ∑ n_x y_x² - деяке числове значення, що розраховується за

спеціальною методикою

У практиці петрофізичних досліджень дуже часто бувають випадки, коли величина Z, що цікавить дослідників залежить від двох і більшого числа інших показників. Наприклад z = f(x,y) У такому випадку розраховують багатовимірний коефіцієнт кореляції R:

(15.10)

де r_xz – величина коефіцієнта кореляції між x і z;

r_xy – величина коефіцієнта кореляції між х і y;

r_yz величина коефіцієнта кореляції між y і z.

Значення величини R лежить в межах від 0 до +1.

15.3.3 Складається рівняння регресії:

(15.11)

де позначення символів такі як у формулах (15.2 - 15.8).

У випадку прямолінійної залежності рівняння регресії має наступний вигляд:

у=а+bх; (15.12)

де а і b – коефіцієнти рівняння регресії, які визначаються методом

найменших квадратів за формулами:

(15.13)

або, враховуючи формули (15.2, 15.6, 15.7) отримаємо:

b = r ×------------- (15.14)

St_X,

(15.15)

Рівняння прямої тоді має вид:

; (15.16)

пряма проходить через точки із значенням , , або

. (15.17)

Таким способом одержуємо рівняння теоретичної лінії регресії.

Надаючи величині х ряд послідовних значень, можна для кожної із них вирахувати значення у.

Коли ми маємо справу з криволінійною залежністю (наприклад параболічною) між петрофізичними характеристиками то рівняння регресії має квадратичний характер, наприклад:

(15.18)

де коефіцієнти а, b, с також визначаються методом

найменших квадратів.

Рекомендується рівняння криволінійної залежності складати не вище другого порядку. В іншому випадку точність обрахунку величини у знижується (кожний параметр накладається на вибрану лінію зв’язку, що призводить до збільшеня дисперсії зв’язку).

В більшості випадків пошук рівнянь, що носять криволінійний характер (параболічний, гіперболічний, показовий і ін.) проводиться за допомогою ЕОМ за спеціальними програмами.