Метод виключень Гауса.
Завдання
до лабораторної роботи. Для
системи лінійних алгебраїчних рівнянь
,
що
задається
матрицю
і вектором правої частини
,
знайти вектор невідомих
за допомогою метода виключення Гауса
і зробити перевірку отриманого результату.
Цим же методом обчислити визначник
матриці і знайти обернену матрицю.
Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи.
Робота виконується у наступній послідовності.
– зчитати матрицю системи і вектор правих частин з попередньо створеного файлу:
For i:=nb to ne do
For j:=nb to ne do read(mm,a[i,j]);
For i:=nb to ne do readln(mm,b[i]);
– запам’ятати ці величини з новими іменами для проведення перевірки;
– створити
допоміжну одиничну матрицю
для обчислення оберненої матриці
;
– за формулами
і
провести пряму ходу методу Гауса як потрійний цикл, у якому на зовнішньому рівні k –поточний номер змінної, що виключається, і – номер поточного рядка, j – номер поточного стовпця. Параметр k міняється від 1 до n-1, а параметри i та j від k до n.
– всередині
циклу по змінним k
та i
разам з обробкою компонент вектора
по аналогічній формулі перерахувати
i-ту
компоненту матриці
у всіх стовпцях.
Технічно це досягається додаванням циклу
for m:=1 to n do d[m,i]:=d[m,i]-s*d[m,k];
Після закінчення прямої ходи матриця буде приведена до трикутного виду і можна обчислити її визначник згідно формулі
При реалізації формул оберненої ходи параметр циклу змінюється від n до одиниці і тому використовується оператор циклу
for i:=n downto 1 do
Щоб
уникнути помилок на оберненій ході
обчислювати компоненти вектора
по формулі
(3.8)
і
елементи оберненої матриці краще в
окремих циклах. Цикл Технічно це означає,
що для визначення
треба
зробити ще один (самий зовнішній), в
якому параметр m
буде
змінюватися від
1 до
n.
І відповідна сума в ( ) буде обчислюватися
як
for k:=i+1 to n do s:=s+a[i,k]*au[m,k];
Контрольні питання.
В чому полягає ідея виключень Гауса?
Що називається провідним елементом?
Чому для перевірки розв’язку СЛАР методом Гауса необхідно зберігати вихідні значення матриці і вектора правої частини?
Чому обчислення оберненої матриці за методом Гауса має перевагу над її обчисленням безпосередньо по формулам лінійної алгебри?
Коли при розв’язку СЛАР стає відомо, що матриця системи є виродженою?
Чому метод прогонки потребує меншого обсягу обчислень, ніж розв’язок цієї ж СЛАР методом Гауса?
Варіанти завдань до лабораторної роботи.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 6
Визначення власних чисел і векторів матриці
Завдання до лабораторної роботи. Знайти найбільше власне число матриці і відповідний йому власний векторів використавши ітераційний метод. Матриця береться за варіантом лабораторної роботи № 5.
Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи.
Робота виконується у наступній послідовності.
1. зробити вихідну матрицю симетрично, при цьому її елементи, що розташовані вище головної діагоналі не змінюються.
2.
В якості початкового наближення
взяти довільний вектор, але не можна
брати нульовий вектор, бо отримаємо
безкінечний обчислювальний процес.
3. В циклі Repeat – Until до виконання умови точності виконується
1) обчислюється допоміжний вектор
,
де
– номер попередньої ітерації;
2)
знаходиться номер
,
найбільшої по абсолютній величині
компоненти
,
яка береться в якості наступного
наближення для власного числа
;
3)
в циклі, в якому параметр змінюється
від 1 до
одночасно обчислюється величина
відхилення по нормі поточного наближення
від попереднього і визначається наступне
наближення. Для цього вводиться допоміжна
змінна
,
обчислюється відхилення для компоненти
як
і підсумовується по всіх компонентах
.
Знаходиться
нове наближення
.
4.
Зовнішній цикл зупиняється при виконані
умови
.
Контрольні питання.
Які матриці мають виключно дійсні власні числа?
Чи можна матричну проблему розв’язати шляхом виключень Гауса в тих випадках, коли матриця набуває трикутної форми і матрична проблема вирішиться безпосередньо?
Яким методом можна знайти комплексні власні числа?
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 7