Розв’язок нелінійних рівнянь

Завдання до лабораторної роботи. Знайти корінь нелінійного рівняння у вказаному інтервалі методом половинного ділення, методом січних і методом Ньютона. Перевірити правильність отриманих рішень і порівняти швидкість збіжності цих методів.

Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи.

Приклад. Розглянемо роботу методу половинного ділення для рівняння з правою частиною

.

Точки a=-2 і b=3 будуть кінцями інтервал невизначеності, оскільки f(a)=-3.00, f(b)=139.413.

На першому кроці маємо c=0.5 і f(c)=2.9278. Тобто новий інтервал невизначеності буде визначатися тепер точками a і c, в яких функція має різний знак. В наступних двох ітераціях ліва точка лишається незмінною і відкидається права половина інтервалу

a=-2.000 b=0.5000 c=-0.7500 f(a)=-3.0000 f(b)=11.9325 f(c)=2.9278

a=-2.000 b=-0.7500 c=-1.3750 f(a)=-3.0000 f(b)= 2.9278 f(c)=-0.0224

На четвертій і п’ятій ітераціях маємо обернену картину

a=-1.375 b=-0.7500 c=-1.0625 f(a)=-0.0224 f(b)= 2.9278 f(c)= 1.4247

a=-1.375 b=-1.0625 c=-1.2188 f(a)=-0.0224 f(b)= 1.4247 f(c) 0.6988

Всього ж для досягнення точності у цій задачі треба виконати 13 ітерацій.

При розв’язку цієї ж задачі методом Ньютона, коли в якості початкового наближення вибирати по черзі ліву, праву і середню точки початкового інтервал знадобляться відповідно 2,6 і 3 ітерації. Що демонструє наскільки швидше буде отримано рішення при вдалому початковому наближенні. У нашій задачі точний розв’язок -1.370154 значно ближче розташований до лівого кінця.

Контрольні питання.

Чим вимірюється швидкість збіжності метода?

Як перевірити правильність знайденого розв’язку?

Який з методів: половинного ділення, січних чи Ньютона швидше збігається і чому?

Чи можна для одного ж того ж рівняння отримати два або більше правильних рішень?

Яким умовам повинні відповідати кінцеві точки інтервалу невизначеності?

Варіанти завдань до лабораторної роботи

Варіант	Функція	Інтервал
1		[-2; 3]
2		[-5; 5]
3		[-5; 5]
4		[-5;5]
5		[-5; 5]
6		[-5; 5]
7		[-2; 0]
8		[-2; 2]
9		[-2; 2]
10		[0; 5]
11		[0; 3]
12		[0; 3]
13		[-3; 3]
14		[-3; 3]
15		[-3; 3]
16		[-2; 3]
17		[-3; 3]
18		[-3; 3]
19		[-3; 3]
20		[-3; 3]
21		[-3; 3]
22		[-3; 3]
23		[-3; 3]
24		[-3; 3]
25		[-3; 3]