§2 Волны де Бройля

Так как электрон проявляет одновременно волновые и корпускулярные свойства, то возникла идея, что этим обладают и все остальные частицы и поэтому общие законы механическим частицам и механические волны должны совпадать.

В теории волны таким общим законом является принцип Ферма, которой позволяет описывать траектории луча из условий минимума

Оказывается, что такой же принцип существует и в классической механике должен быть min

Очевидно, что объединив свойства траектории луча и траектории частицы это одно и тоже, поэтому оба принципа должны удовлетворятся одновременно

С другой стороны скорость частицы

групповая скорость волн.

Так как это равенство должно выполняться для любых E и u то коэффициенты (E,u) в левой и правой частях должны быть равны.

постоянная Планка

Интегрируя получим

произвольная постоянная величина

Так как если частицы нет то и то очевидно, что

Таким образом, частица с одной стороны характеризует корпускулярные характеристики E и , а с другой стороны волновыми и которые связаны соотношением

Так как

- длина волны Дебройля

Таким образов каждая частица соответствует некоторая волновая функция.

Получим волновую функция называемую волной Дебройля.

§ 3 Уравнение Шредингера.

Как было показано в § 2.1 волновая функция является решением волнового уравнения, поэтому для волновой функции Дебройля мы можем написать точно такое же уравнение как , где - фазовая скорость волны.

Рассмотрим волновые функции в виде монохроматической волны, то есть с постоянной частотой

Тогда волновая функция:

Подставим функцию в уравнение

Это уравнение Шредингера для независимой от времени части волновой функции частицы и часто называют стационарным уравнение Шредингера.

Умножим это уравнение на

Полученное уравнение называется уравнение Шредингера .

Рассмотрим комплексно сопряженное уравнении.

Рассмотрим уравнение Шредингера и комплексно сопряжённое уравнение Шредингера

Действительно

Напоминает по внешнему виду уравнение непрерывности.

Чтобы убедиться в этом рассмотрим волновую функцию в виде плоской монохроматической волны

Полученное уравнение действительно совпадает с уравнение, где вместо

Уравнение непрерывность выполняется для любой сохранённой величины где -плотность величины, а v-скорость её переноса.

Обычно в классической механике - это плотность заряда или вещества (материи). Такую же роль в квантовой механике должна играть

* * *

Если случайная величина x может принимать различные значения

Если в N опытах значение наблюдается раз то вероятность значения называется

Очевидно условие нормировки.

Среднем значением называется

Если есть функция то среднем значением этой функции называется

Если имеются две независимые случайные величины, каждая из которых может принимать свои значения.

Тогда совместная вероятность того, что первая величина принимает значение х_i: а вторая при этом принимает значение

Если случайная величина х меняется непрерывно, то вероятностью того что (находится в интервале) -плотность вероятности.

Тогда условием нормировки

Среднем значением функции

***

Квадрат модуля волновой функции можно рассмотреть, как плотность вероятность обнаружить частицу в интервале . Вероятность будет

Вследствие этого волновая функция обладает следующими свойствами: ( условие нормировки). Для выполнения , которого необходимо

И волновая функция и её производные должны быть непрерывны.

Вероятность что частицы находятся