§2.3 Распространение волны в ограниченной среде. Стоячие волны

Рассмотренный одномерный случай в §2.1 было показано, что :

Рассмотрим среду одномерно ограниченную с одной стороны в точке х=0 с нулевым граничным условием:

Пусть в такой среде распространяется волна.

Из нулевого граничного условия следует что:

Таким образом при рассмотрение волны в ограниченной среде происходит изменение направления распределения на границе среды. Такое явление называется отражением.

Изменение знака волновой функции в рассмотренном примере связанно исключительно с видом граничного условия.

Рассмотрим гармоническую волну которая распространяется в ограниченной сфере с нулевым граничным условием

То есть в рассмотренном случаи гармонические возмущения в ограниченной среде никакого распространения волны наблюдаться не будет.

Каждая точка среды будет совершать гармонические колебания с частотой и постоянной амплитудой величина которой определяется координатами точки . Полученное возмущение называется стоячей волной.

Точки в которых амплитуда колебаний равна нулю называются узлами стоячей волны,

При переходе через узел в стоячей волне фаза колебаний меняется на . Если среда ограничена с двух сторон нулевыми граничными условиями.

тогда:

Полученные решение называется собственным модулями колебаний.

Заметим, что в полностью ограниченной среде возможны стоячие волны(собственные моды )лишь с определённой длиной волны (частотой) которая меняется дискретно.

§2.4 Интерференция волн двух источников .

Рассмотрим два точечных источника которые излучают сферически симметричные гармонические волны с одинаковой частотой

Определим волновую функцию в точке p. Так как волновое уравнение линейно то волновая функция в точку p линейна .

Сначала рассмотрим случай когда фазы колебаний источников одинаковы. Решить задачу в общем случае достаточно сложно. Поэтому рассмотрим приближение, когда точка p находится на большом расстояние от источника настолько большом , что можно считать, что амплитуда колебаний каждого источника одинаковы.

Выясним условия применимости такого приближения

d

(при выполнение нашего условия)

Если выполнить это условие то говорят, что можно пользоваться приближение далекого поля или волновой зоной.

Мы будем наблюдать гармоническую волновую функцию амплитуда которой будет:

- геометрическая разность хода

Условия максимальной амплитуды.

То есть геометрическая разность хода равна целому числу длин волн.

Условие минимальных амплитуд

Геометрическая разность хода равна нечетному числу длин полуволн.

Рассмотрим более общий случай, когда два источника излучаю волны с различными начальными фазами.

Амплитуда в точке P

- начальная разность фаз

В этом случае условие максимальной амплитуды будет:

Определим угловое расстояние между двумя ближними максимумами. Условие максимума nго порядка:

Условие максимума n+1

Для малых углов , ,

Рассмотрим случай когда источники расположены далеко друг от друга d>> , тогда угловое расстояние между ближайшими максимумами

будет <<1

В § 1.3 было показано, что энергия колебаний пропорциональна A² поэтому энергия излучения двух источников будет пропорциональна , так как угловое расстояние между ближайшем максимум при мало то на не большом участке поверхности dS будет расположено большое количеством max и min амплитуд.

Поэтому средние значение энергии излучение на единицу площади поверхности будет

A-амплитуда излучения одного источника.

Таким образом если излучают 2 источника

Рассмотрим близко расположенные источника d<<1

Тогда

1 случай

2 случай