1.1.3. Метод Гауса:

Нехай дано систему лінійних рівнянь:

_(1),

_{Система
містить}_m_{рівнянь
і}_n_{невідомих.
Очевидно,що серед коефіцієнтів} _{хоча б один відмінний від нуля. Якщо ж} _{=0
, то першим в системі (1) запишемо те
рівняння , в якому коефіцієнт при} _{відмінний від нуля . Позначимо цей
коефіцієнт через} _{. Перетворимо систему (1) , виключаючи} _{в усіх рівняннях , крім першого . Для
цього помножимо перше рівняння на} _{і додамо до другого , потім помножимо
перше рівняння на} _{і додамо до третього і т. д. При цьому
може статись так , що друге невідоме} _{також не входить в усі рівняння з номером} _{. Нехай} _{- невідоме з найменшим номером , яке
входить в будь-яке рівняння , не рахуючи
першого . Дістанемо систему:}

_(2).

Застосовуючи до всіх рівнянь , крім першого , таку саму процедуру і виконавши ряд елементарних перетворень , дістанемо систему :

_(3).

Тоді приводимо систему до трикутного вигляду,щоб у останньому рівнянні системи була лише одна змінна , у попередньому – дві змінні і т.д. Після чого знаходимо розв’язки системи .

Розглянемо метод Гауса на прикладі:

Для зручності запишемо систему у вигляді розширеної матриці:

_{Відповідь.
(0.835 1.032 0.999)}

1.1.4. Метод Зейделя:

Метод Зейделя можна вважати модифікацією метода Якобі . Тут використовується метод простої ітерації.

Для того, щоб застосувати метод простої ітерації, необхідно систему рівнянь:

Ax = b

з квадратною невиродженою матрицею A привести до виду:

x = Bx + c , (1.1) де B - квадратна невироджена матриця з елементами ; i, j = 1, 2, ..., n ; x - вектор-стовпець невідомих ; c - вектор-стовпець з елементами ; i = 1, 2, ..., n.