Определение погрешностей при однократном измерении

При однократном измерении погрешность результата оценивается на основе априорной (до опыта) информации о суммарной погрешности СИ, его класс точности или о систематических инструментальной и методической погрешностях.

Если известен класс точности СИ, то по приведенным выше формулам определяют допустимые пределы погрешности Δ. Затем по показанию СИ, значению Δ определяют погрешность данного однократного измерения.

Если при однократном измерении кроме дефектов инструментальной неисключенной систематической погрешности Δ_n известно пределы ее одной погрешности – методической систематической Δ_m , то суммарная погрешность определяется алгебраическим суммированием

При суммировании 3-х и более составляющих Δ_i неисключенной системати-ческой погрешности, погрешности предполагаемой распределенными рав-номерно и симметрично. При этом согласно ГОСТ 8.207-76 суммарная погрешность однократного измерения определяется по формуле :

где К – коэффициент, определяемый при примерно одинаковых Δ_i принятой доверительной вероятностью Р_дов и числом суммируемых погрешностей (табл 1). При Р_дов=0.95 коэффициент К принимается равным 1.1 независимо от числа слагаемых. При Р_дов=0.99 и n > 4 коэффициент К равен 1.4. При n = 2,3,4 коэффициент К определяется по графику (рис.1) зависимости к=f(n, L), где n – число суммируемых погрешностей; - отношение максимальной составляющей систематической погрешности к ближайшей к ней из остальных составляющих

Рис. Зависимость коэффициента k от отношения L

(при n = 2,3,4) при доверительной вероятности Р_дов = 0.99

Аналогичным образом по формуле ( ) определяют и доверительную границу неисклю-ченной систематической погрешности результата измерения.

При известном среднеквадратическом отклонении (с.к.о) случайных составляющих погрешности G_i распределенных по нормальному закону с.к.о G_сум доверительные границы Δ_сум случайной составляющей суммарной погрешности результата однократного определяют по формулам

,

где Z – коэффициент, равный значению нормированной функции Лапласа, соответствующему заданной доверительной вероятности.

Значения Z для некоторых значений Р_дов приведенных в таблице 2.

Таблица 2

Значения доверительной вероятности Р_дов в зависимости от стандартного отклонения Z = Δ / G

Рдов	0.997	0.995	0.99	0.984	0.972	0.95	0.93	0.89	0.8	0.68
	3.0	2.8	2.6	2.4	2.2	2.0	1.8	1.6	1.3	1.0

Лекция № 8. Определение результата измерения при многократных наблюдениях

При измерениях с многократными наблюдениями экспериментатор измеряет одну и туже постоянную величину х = const несколько (n) раз. В результате получает ряд х₁ х₂ …. х_{n ,} каждый член которого состоит из истинного значения измеряемой величины и случайной составляющей погрешности.

То есть мы имеем

При обработке данных в качестве оценки истинного значения математического ожидания измеряемой величины Х принимается среднее арифметическое выборки Х_N которое считается равным результату измерения

где - кофффициенты веса наблюдений, характеризующие степень доверия к каждому из них. При этом = 1. Если все наблюдения производятся в одинаковых условиях, то такие измерения называют равноточными, тогда С₁ = С₂ …=С_n = 1/n. За результат измерения принимается :

Точность измерения при одном и том же числе наблюдений будет выше, чем меньше рассеяны результаты отдельных наблюдений Х_i . Для характеристики точности полученного значения результата измерения (среднего арифметического) необходимо измерить с.к.о среднего арифметического .

Здесь необходимо различать 2 случая :

Случай 1. С.к.о результатов наблюдения известны, т.е. известно G_н

В этом случае

Согласно правилам вычисления дисперсии произведения случайной функции Xi и постоянного коэффициента 1/n постоянный коэффициент 1/n берется в квадрате, т.е.

Следовательно, с.к.о. результата измерения равно

Таким образом, с увеличением числа наблюдений погрешность результата измерения будет уменьшаться в раз по отношению с с.к.о. результатов наблюдений.

Случай 2. С.к.о. результатов наблюдений не известно

В этом случае вначале определяют оценку и ее числовые характеристики. Оценку с.к.о. результатов наблюдения оценивается по значениям случайных отклонений результатов наблюдений. Случайное отклонение результата наблюдения – это разность между результатом наблюдения и средним арифметическим

Оценка с.к.о. результата наблюдения равна

Эта оценка при малых n является неточной. Поэтому при малых «n» ее умножают на коэффициент . С учетом подправки

Оценка с.к.о. результата измерения измеряется через через случайные отклонения по формуле :

,

где коэффициент Mk , зависящий от числа наблюдений равен:

при n = 1 М_k = 1,253; n = 2 М_k = 1,128;

n = 3 М_k = 1,085; n > 6….10 М_k 1.

Наиболее полно свойства случайной погрешности описываются вероятностной функцией распределения. Она устанавливает связь между возможными значениями случайной погрешности и вероятностью появления этих значений. Наиболее часто используют нормальный или равноправный законы.

Нормальный закон описывается функцией

G – среднее квадратическое отклонение;

G² – дисперсия.

При известной дисперсии результат измерения А_n c доверительной вероятностью P равен

,

где Z_p – случайная величина, распределенная по нормальному стандартному закону. При неизвестной дисперсии результат измерения А равен

где - случайная величина, распределенная по закону Стьюдента, - число степеней свободы, , - число измерений

- точечная оценка с.к.о. результата измерения.

Закон Стьюдента при большом количестве измерений (n > 30) приближается к нормальному и . Но при n < 30 он зависит от числа степеней свободы , где n – число измерений.