2. Расчет граничных значений погрешности по экспериментальным данным и заданной доверительной вероятностью. Выбор образцовых си при поверке

При нормальном распределении случайных погрешностей и известном с.к.о. доверительный интервал Δ_д (предельная случайная погрешность) обычно выражают через относительную величину Z, выраженную в долях с.к.о.

Для заданного Р_дов по таблице 2 определяют значения z, а затем пользуясь соотношением ( ) вычисляют . При малом числе повторных измерений (n << 30) распределение погрешностей отличается от нормального и более точно описывается распределением Стьюдента, зависящим как от значения случайной погрешности, так и от числа измерений n.

Доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения в этом случае определяются зависимостью

,

где - с.к.о. результата измерений, Z_s – коэффициент Стьюдента, который в зависи-мости от задаваемой доверительной вероятности и числа наблюдений n находятся по таблице .

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

При выполнении повторных измерений одной и той же измеряемой величины результаты отдельных измерений будут отличаться друг от друга. Это отличие обусловлено случайными погрешностями. Полным описанием случайной величины является закон распределения вероятностей погрешности. Он характеризует частоту появления погрешности различной величины в ряду наблюдений.

В практике электрических измерений наиболее часто встречаются :

1. нормальный закон распределения погрешности (закон Гаусса)

2. равномерный (равновероятный закон)

Математически нормальный закон распределения случайных погрешностей определяется формулой

,

где - плотность вероятности случайной погрешности Δ

р авномерный закон характеризует то обстоятельство, что случайная погрешность в пределах от до независимо от величины может встречаться одинаково часто

при <

при Δ < и при Δ >

Основными характеристиками законов распределений являются математическое ожидание и дисперсия ряда наблюдений.

При нормальном распределении случайных погрешностей и известном с.к.о. доверительный интервал Δ_д (предельная случайная погрешность) обычно выражают через относительную величину Z, выраженную в долях с.к.о.

Для заданного Р_дов по таблице 2 определяют значения z, а затем пользуясь соотношением ( ) вычисляют .

При малом числе повторных измерений (n << 20) распределение погрешностей отличается от нормального и более точно описывается распределением Стьюдента, зависящим как от значения случайной погрешности, так и от числа измерений n.

Доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения в этом случае определяются зависимостью

,

Где - с.к.о. результата измерений, Z_s – коэффициент Стьюдента, который в зависимости от задаваемой доверительной вероятности и числа наблюдений n находятся по таблице 4/

Оценка погрешности результата измерения

Для правильной оценки результата измерений и его погрешности необходимо произвести обработку результатов отдельных наблюдений ряда в следующем порядке

1. оценить и исключить систематическую погрешность из каждого отдельного результата наблюдения, получив таким образом исправленный ряд наблюдений.

2. определить оценки основных характеристик ряда наблюдений (мат. ожид.) с.к.о.

3. исключить грубые погрешности, используя критерий 3G или критерий Шовене

4. найти результат измерения и оценку с.к.о. результата измерения

5. определить вид закона распределения погрешности результата измерения и найти доверительный интервал для этой погрешности.

Предложим, что при прямых многократных измерениях мы получили n отдельных результатов наблюдений. После исключения систематической погрешности получаем исправленный ряд значений а₁ , а₂ ,….а_n математическое ожидание равно истинному значению измеряемой величины.

Но поскольку n не может быть очень большим, математическое ожидание заменяют его оценкой – средним арифметическим значением

с.к.о. результата измерения определяется по формуле

Теперь нужно найти результат измерения, т.е. каким образом соединить А_ср со среднеквадратическим отклонением G. При известной дисперсии результат измерения А_n с доверительной вероятностью р равен

,

где z_р случайная величина распределения по нормальному стандартному закону. Для определения z_р есть таблицы функций Лапласа, по которой для заданной доверительной вероятности можно определить z_р , где Ф – функция Лапласа.

При неизвестной дисперсии результат измерения А равен

где - случайная величина, распределенная по закону Стьюдента, - число степеней свободы.

Закон Стьюдента при большом количестве измерений (n > 30) приближается к нормальному и Но при n < 30 он зависит от числа степеней свободы , где n – число измерений. Для коэффициента существуют таблицы. Значения коэффициента Zp Стьюдента при различных значениях n и Pдов. Таблица

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	6.31 2.95 2.35 2.13 2.02 1.94 1.90 1.86 1.83 1.81 1.87	12.71 4.30 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.179	5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.055	14 16 18 20 22 24 26 28 30 60	1.76 1.75 1.73 1.72 1.72 1.71 1.71 1.7 1.7 1.69	2.145 2.120 2.101 2.086 2.074 2.064 2.056 2.048 2.043 2.0	2.977 2.921 2.878 2.845 2.819 2.797 2.779 2.763 2.750 2.06

Результат прямых измерений при многократных наблюдениях характеризуется совокупностью неисключенных систематических погрешностей Δ_нср и случайными отклонениями результатов наблюдения от среднего значения, оцениваемыми с.к.о. результата измерения . В зависимости от отклонения в ГОСТ 3.207-76 рекомендуется следующая методика определения доверительных границ погрешности результата измерения

При < 0.8 неисключенной систематической погрешностью пренебрегают. В этом случае граница погрешности результата измерения вычисляется по формуле ( ). При > 8 можно пренебречь случайными погрешностями результата измерения. В этом случае граница погрешности результата измерения принимается равной доверительной границы неисключенной систематической