4. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле

Основные формулы

♦ Вектор поляризации – количественная мера поляризации диэлектрика:

, (4.1)

где – число диполей, содержащихся в объёме диэлектрика; – электрический момент -го диполя.

♦ Зависимость между вектором поляризации и напряжённостью внешнего электрического поля для изотропного диэлектрика:

, (4.2)

где – диэлектрическая восприимчивость среды.

♦ Нормальная составляющая вектора поляризации равна поверхностной плотности связанных или поляризационных зарядов:

. (4.3)

♦ Вектор электрического смещения :

. (4.4)

♦ Связь вектора электрического смещения и вектора напряжённости электрического поля в диэлектрике:

, (4.5)

где – относительная диэлектрическая проницаемость вещества;

. (4.6)

♦ Теорема Гаусса: поток вектора через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых внутри неё свободных зарядов т. е.

, (4.7)

где – величина свободного заряда.

Методические указания

Для расчёта электрических полей в диэлектриках вводят вспомогательную величину – вектор электрического смещения (электрической индукции) . В курсе общей физики обычно рассматриваются однородные и изотропные диэлектрики, имеющие форму, при которой ограничивающие их поверхности совпадают с эквипотенциальными поверхностями внешнего поля (перпендикулярны силовым линиям поля). Если такой диэлектрик вносят в электрическое поле постоянного заряда, то вектор электрического смещения останется без изменения во всех точках поля как внутри, так и вне диэлектрика, а вектор напряжённости электрического поля уменьшится в раз в пространстве, занятом диэлектриком, и останется без изменения вне диэлектрика.

При расчёте поля в диэлектриках целесообразно использовать два метода.

Первый метод основан на принципе суперпозиции. В этом случае рассчитывают сначала поле свободных зарядов , затем – поле связанных зарядов . После этого находят напряжённость поля в диэлектрике по формуле

.

По второму методу сначала находят вектор электрического смещения (по теореме Гаусса), затем, используя формулу , определяют напряженность электрического поля в диэлектрике.

При расчёте электрического поля и вычислении емкости бывает полезен вспомогательный прием, называемый методом зеркальных изображений.

Этот метод основан на следующем положении: если в электрическом поле заменить эквипотенциальную поверхность проводником той же формы и создать на этом проводнике потенциал, равный потенциалу рассматриваемой эквипотенциальной поверхности, то электрическое поле не изменится.

На рис 4.1. показано электрическое поле двух точечных зарядов и , расположенных на расстоянии друг от друга.

Плоскость АА делит электрическое поле на две равные части.

П

Рис. 4.1

лоскость АА везде перпендикулярна к силовым линиям поля, т. е. является эквипотенциальной поверхностью. Если в АА поместить неограниченную проводящую плоскость, то поле между зарядом и этой плоскостью не изменится и будет совпадать с полем двух точечных зарядов и . Заряд является зеркальным изображением заряда в проводящей плоскости, поэтому электрическое поле между точечным зарядом и бесконечной плоскостью совпадает с полем, которое создается данным зарядом и его зеркальным изображением в проводящей плоскости. Следовательно, действие проводящей плоскости с ее индуцированными зарядами можно заменить действием точечного заряда, являющегося зеркальным изображением данного заряда в проводящей плоскости.

Примеры решение задач

Задача 1. Металлическому изолированному шару радиусом см сообщили заряд , после чего поверхность шара покрыли слоем диэлектрика толщиной см. Чему равна плотность наведенных зарядов на внутренней и внешней поверхностях слоя диэлектрика и полный наведенный заряд. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика ?

Решение.

Вектор электрического смещения в любой точке диэлектрика равен, согласно теореме Гаусса,

, где – радиус гауссовой поверхности,

.

Вектор связан с вектором поляризации соотношением:

, откуда .

Нормальная составляющая вектора поляризации численно равна плотности наведённых зарядов, т. е. .

Следовательно, для внутренней поверхности диэлектрика имеем:

,

для внешней:

.

Наведённый заряд один и тот же и на внутренней и на внешней поверхности слоя диэлектрика:

.

Выразим физические величины в системе СИ: м, Кл, м, .

После подстановки числовых данных получаем: , , Кл.

Задача 2. Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя диэлектрика – слюдяная пластинка толщиной мм и парафин толщиной мм. Определите: 1) напряжённость электростатических полей в слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение, если разность потенциалов между пластинами конденсатора В.

Решение.

Напряжённость поля и разность потенциалов связаны соотношением:

. (1)

Разбив весь путь интегрирования на две части, соответствующие толщинам двух слоёв диэлектриков, и учитывая, что в пределах каждого слоя поле однородно, получим

. (2)

Электрическое смещение в обоих слоях диэлектриков имеет одно и тоже значение, поэтому на основании формулы (4.5) запишем:

, (3)

откуда или . (4)

Подставим (4) в (2), получаем

. (5)

Из формулы (5) следует: . (6)

Выразим величины и системе СИ: м, м.

Произведя вычисления по формулам (6), (4) и (3), получаем:

кВ/м; кВ/м; .

Задача 3. Стеклянный толстостенный полный шар равномерно заряжен по объёму с плотностью . Внутренний радиус шара см, наружный см. Найти распределение потенциала в стекле, а также вычислить потенциалы наружной, внутренней поверхностей и центра шара.

Решение.

М етод суперпозиции. Найдем распределение потенциала в стекле, т. е. потенциал в произвольной точке А (рис. 4.2), удалённой от центра шара на расстояние . Поле в стекле создаётся объёмным зарядом диэлектрика и связанным зарядом на внешней поверхности шара.

Рис. 4.2

; (1)

. (2)

Для определения потенциала поля в точке А, созданного объёмным зарядом , воспользуемся методом дифференцирования и интегрирования. Для этого разделим сферический слой на тонкие концентрические сферические слои малой толщины , заряд которых можно считать элементарным, , (3)

где – радиус слоя.

Результирующий потенциал в точке А по принципу суперпозиции равен сумме потенциалов полей, созданных элементарными зарядами. Элементарный потенциал в точке А будет вычисляться по разным формулам в зависимости от того, какой является точка А для этой сферы – внутренней или внешней.

Для учёта этого обстоятельства проведём через точку А сферу радиуса с центром в точке (рис. 4.2). Она разделит шаровой слой на два подслоя: подслой с радиусами и и подслой с радиусами и . В первой из них точка А – внешняя, а во втором – внутренняя. Выделим в первом подслое элементарный сферический слой толщиной (рис. 4.3). Его элементарный потенциал в точке А будет:

. (4)

Эту формулу можно обосновать тем, что потенциал в точке А создаётся свободным зарядом и связанным зарядом , расположенным на сфере радиуса . Результирующий потенциал

.

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Интегрируя (4) по в пределах от до находим потенциал , созданный в точке зарядом первого подслоя:

. (5)

Аналогично элементарный потенциал в точке А, созданный сферическим слоем толщины во втором подслое, будет:

, (6)

где – расстояние от точки А до сферического слоя.

Интегрируя (6) по в пределах от до и, учитывая соотношение (3), получаем:

. (7)

Потенциал , созданный в точке А связанным зарядом , составляет

, (8)

(с учётом формул (1) и (2)).

Общий потенциал в точке

.

Величина не зависит от расстояния , поэтому

. (9)

Используя формулу (9), определяем значения потенциала на внешней поверхности шара и на его внутренней поверхности:

; (10)

. (11)

Потенциал в центре шара равен потенциалу на внутренней поверхности, т. е. .

Метод Гаусса. По теореме Гаусса .

Применяем теорему для поверхности, проведённой через точку А:

, (12)

откуда . (13)

Напряжённость поля в данной точке А:

. (14)

Напряжённость поля и потенциал связаны соотношением , откуда ,

. (15)

Интегрируя (15) с учётом соотношения (14), получаем:

. (16)

Постоянную интегрирования найдём из условия непрерывности потенциала и того, что потенциал на внешней поверхности шара определяется только свободным зарядом :

. (17)

Из соотношений (16) и (17) следует:

,

что совпадает с величиной .

Таким образом, .

З адача 4. На расстоянии от большой проводящей пластины находится точечный электрический заряд . С какой силой действует на него пластина?

Решение.

Под действием электрического поля заряда в пластине происходит разделение зарядов (рис. 4.5). Считая пластину бесконечно большой, электрическим полем положительных зарядов можно пренебречь.

Отрицательный заряд на пластине распределяется так, что его электрическое поле и поле точечного заряда компенсируют друг друга в пластине (в проводнике электростатическое поле отсутствует).

Для решения задачи воспользуемся методом зеркальных изображений. Поместим по другую сторону пластины на расстоянии от неё заряд . Он является “зеркальным изображением” точечного заряда .

Положительный индуцированный заряд распределится по пластине таким же образом, как и отрицательный заряд на другой стороне пластины.

Электрические поля, существующие слева и справа от пластины, перпендикулярны её поверхностям в каждой точке. Наличие слева от пластины заряда не приводит к изменению электрического поля справа от пластины.

Если расстояние от точечного заряда до пластины значительно превышает её толщину, то пластину можно считать бесконечно тонкой. Электрическое поле индуцированных зарядов вне пластины отсутствует: потенциал пластины равен нулю, так как она расположена на середине отрезка, соединяющего заряды и , перпендикулярно к нему.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов определяется по закону Кулона:

,

где , тогда .

Задачи для самостоятельного решения

4.1. Определите плотность связанных зарядов на поверхностях слюдяной пластинки толщиной 0,2 мм, служащей изолятором в плоском конденсаторе, заряженном до напряжения 400 В.

4.2. В керосине на глубине 3 см от свободной поверхности находится точечный заряд 17 нКл. Определите: а) плотность связанных зарядов на поверхности керосина над зарядом и на расстоянии 5 см от заряда; б) общую величину связанного заряда на поверхности керосина.

4.3. Одной из пластин плоского конденсатора площадью сообщили заряд (другая соединена с Землёй). Расстояние между пластинами . Между пластинами (параллельно им) находятся стеклянная и фарфоровая пластинки, толщины которых соответственно равны и . Определить напряжённости электрического поля в стекле и фарфоре, а также поверхностные плотности и связанных зарядов на них (рис. 4.6).

Рис. 4.6

4 .4. Достаточно длинный круглый цилиндр из однородного и изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью расположен в однородном поле с напряжённостью так, что ось цилиндра совпадает с направлением . Определить напряжённость электрического поля вблизи цилиндра (внутри и вне цилиндра).

4.5. В бесконечном однородном и изотропном диэлектрике, в котором создано однородное поле напряжённости , имеется сферическая полость радиуса (рис. 4.7). В центре полости расположен точечный диполь с электрическим моментом . Определить период малых колебаний диполя, если момент инерции диполя относительно оси вращения равен .

4 .6. Точечный диполь с электрическим моментом находится на расстоянии от бесконечной проводящей плоскости. Определить модуль вектора силы, действующей на диполь, если вектор перпендикулярен плоскости.

4.7. Тонкая бесконечно длинная нить равномерно заряжена электричеством с линейной плотностью и расположена параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии от неё (рис. 4.8). Найти: а) модуль вектора силы, действующей на участок нити единичной длины; б) распределение поверхностной плотности заряда на плоскости ( – расстояние от плоскости, проходящей через нить и перпендикулярной проводящей плоскости).

4.8. Внутри шара из изотропного диэлектрика с создано однородное электрическое поле напряженностью 100 В/см. Какова максимальная поверхностная плотность связанных зарядов ?

4.9. Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет 1 см, разность потенциалов В. Определите поверхностную плотность связанных зарядов эбонитовой пластинки , помещённой на нижнюю пластину конденсатора. Толщина пластины мм.

4.10. Свободные заряды равномерно распределены с объёмной плотностью нКл/м³ по шару радиусом см из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью . Определите напряжённость электростатического поля на расстояниях см и см от центра шара.

4.11. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно мм, разность потенциалов 150 В. На нижней пластине лежит плитка парафина ( ) толщиной мм. Определить поверхностную плотность связанных зарядов этой пластинки.

4.12. В одном из двух одинаковых по своим размерам плоских конденсаторов использована для прокладки между пластинами парафинированная бумага ( . Второй конденсатор с неизвестным диэлектриком имеет в 3,5 раза большую емкость, чем первый конденсатор. Каково отношение плотностей связанных зарядов при подключении их к одному и тому же источнику напряжения?

4.13. В однородное электрическое поле с напряженностью В/м вносится стеклянная пластинка так, что угол между и нормалью к пластинке . Определите: а) напряженность поля в пластинке и угол между направлением и нормалью к пластинке; б) плотность связанных зарядов , возникших на поверхности пластинки.

4.14. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 2 мм, разность потенциалов кВ. Диэлектрик – стекло. Определить диэлектрическую восприимчивость и поверхностную плотность поляризационных (связанных) зарядов на поверхности стекла.

4.15. Металлический шар радиусом см окружен равномерно слоем фарфора толщиной 2 см. Определить поверхностные плотности и связанных зарядов соответственно на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика. Заряд шара равен 10 нКл.

4.16. Эбонитовая плоскопараллельная пластинка помещена в однородное электрическое поле напряженностью 2 МВ/м. Грани пластины перпендикулярны линиям напряженности. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на гранях пластины.

4.17. Металлический шар радиусом см имеет заряд нКл. Шар окружен вплотную примыкающим слоем парафина ( ) с внешним радиусом см и металлической сферической концентрической оболочкой, радиусы которой равны см и см. Найдите заряды, индуцируемые на внутренней и внешней поверхности металлической оболочки, вычислите поверхностную плотность связанных зарядов на внешней и внутренней поверхности диэлектрика.

4.18. Тонкая равномерно заряженная с линейной плотностью зарядов длинная цилиндрическая труба радиусом окружена коаксиальным однородным слоем диэлектрика; внутренний радиус слоя равен , внешний – , диэлектрическая проницаемость вещества слоя равна . Найдите плотность связанных зарядов на внутренней и внешней поверхности слоя.

4.19.Однородный равномерно заряженный по объему диэлектрический шар имеет заряд Кл. Радиус шара м, диэлектрическая проницаемость вещества шара . Найдите потенциал центра шара и плотность связанных зарядов на поверхности шара.

4.20. На некотором расстоянии см от бесконечной проводящей плоскости находится точечный заряд нКл. Определить силу, действующую на заряд со стороны индуцированного им заряда на плоскости.

4.21. На расстоянии см от бесконечной проводящей плоскости находится точечный заряд нКл. Вычислить напряженность поля в точке, удаленной от плоскости на расстояние и от заряда на расстояние .

4.22. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено слюдой ( ). Площадь пластин конденсатора составляет 50 см². Определите поверхностную плотность связанных зарядов на слюде, если пластины конденсатора притягивают друг друга с силой 1 мН.

4.23. Точечный сторонний заряд находится в центре диэлектрического шара радиуса с проницаемостью . Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью . Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела этих диэлектриков.

4.24. Точечный заряд нКл находится в вакууме на расстоянии мм от заземленной плоской металлической стенки. Найти силу, с которой стенка притягивает к себе заряд.

4.25. Длинный цилиндр радиусом см из диэлектрика, имеющего диэлектрическую проницаемость , заряжен по объему с постоянной объемной плотностью . Найдите напряженность поля в точках на расстояниях см, см от оси цилиндра и разность потенциалов между этими точками. Постройте графики зависимости .

4.26. Длинный цилиндрический конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону , где – радиус внутреннего цилиндра, – переменный радиус. Найти объемное распределение связанных зарядов в диэлектрике, если к обкладкам приложена разность потенциалов . Радиус внешнего цилиндра .

4.27. На пластины плоского конденсатора, расстояние между которыми , подана разность потенциалов кВ. Пространство между пластинами заполняется диэлектриком ( ). Найти поверхностную плотность связанных зарядов. Насколько изменится поверхностная плотность заряда на пластинах при заполнении конденсатора диэлектриком. Задачу решить, если заполнение конденсатора диэлектриком производится до отключения конденсатора от источника напряжения.

4.28. Решить предыдущую задачу для случая, когда заполнение конденсатора диэлектриком производится после отключения конденсатора от источника напряжения.

4.29. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком, диэлектрическая восприимчивость которого . Расстояние между пластинами мм. На пластины конденсатора подана разность потенциалов кВ. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на диэлектрике и поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора.

4.30. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено парафином. При присоединении пластин к источнику напряжения давление пластин на парафин стало равным Па. Найти напряженность электрического поля и электрическое смещение в парафине, поверхностную плотность связанных зарядов на парафине и поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора.