Построение теоретической кривой нормального распределения погрешностей

По внешнему виду эмпирической кривой можно приближенно установить закон распределения погрешностей в генеральной совокупности. Для более точного заключения необходимо сопоставить эмпирическую кривую распределения с предполагаемой теоретической. С этой целью для каждого интервала значений х необходимо вычислить теоретические частоты или частности и по ним построить теоретическую кривую распределения.

Уравнение кривой нормального распределения имеет вид:

, (1)

где - плотность вероятности (вероятность появления того или иного значения случайной величины);

 - среднее квадратическое отклонение случайной величины;

- среднее значение случайной величины;

х – текущее ее значение;

е – основание натуральных логарифмов.

В экспериментальных исследованиях в качестве приближенных оценок параметров генеральной совокупности и  используются выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение S, которые вычисляются по формулам:

; (2)

. (3)

При построении теоретической кривой нормального распределения принимается, что и .

Приближенно можно считать, что

, (4)

где - теоретическая частота, а – ширина интервала (величина а введена в уравнение (4) для приведения теоретической кривой нормального распределения к тому же масштабу, в котором вычерчена эмпирическая кривая).

Из уравнения (4) будем иметь

. (5)

Если в выражение (5) подставить

,

то получим

.

Обозначим и примем, что .

Тогда формула (5) примет вид

. (6)

Величина вычислена для различных значений t и приведена в таблице приложения 1. Значения t для каждого интервала размеров находятся по формуле:

(7)

Таким образом, для подсчета теоретических частот необходимо для каждого интервала размеров по формуле (7) определить значение t, по таблице приложения 1 найти и затем воспользоваться формулой (6). При подсчете теоретических частот целесообразно пользоваться таблицей (см. табл.1). График теоретической кривой нормального распределения обычно совмещается с графиком эмпирической кривой (рис.1). Необходимо отметить, что теоретическая кривая нормального распределения также может быть построена по характерным точкам. Координаты характерных точек кривой нормального распределения приведены в табл.2.

Таблица 2

Характерные точки	Абсцисса	Ордината
Вершина кривой	x
Точка перегиба	xS
Точка перегиба	x2S
-	x3S

Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому нормальному

Для проверки соответствия эмпирического распределения теоретическому соответствует ряд критериев [2-4]. В данной работе с этой целью используется критерий ²

, (8)

где m – число сравниваемых частот,

, - соответственно эмпирическая и теоретическая частота i-го интервала значений х.

Для удобства вычисления ² целесообразно использовать таблицу (см. табл.3).

Таблица 3

Интервалы размеров
От	до
19,86	19,88			5	25	1,78
19,88	19,90
19,90	19,92	22	23	1	1	0,043
19,92	19,94	25	29	4	16	0,550
19,94	19,96	19	22	3	9	0,410
19,96	19,98			3	9	0,750
19,98	19,20
						2=3,53

При определении критерия ² необходимо, чтобы частоты интервалов были не менее пяти. Если в каком-либо интервале частота будет менее пяти, то его следует объединить с соседним, как это показано в табл.3. Затем необходимо найти число k по формуле:

, (9)

где р – число параметров теоретического распределения р = 2, k = m - 3. По таблице приложения 3 по найденным значениям ² и k определяется вероятность p(x²). Если будет выполняться неравенство p( ²) > 0,005, то можно считать, что эмпирическое распределение соответствует теоретическому (нормальному) и использовать его закономерности для анализа точности обработки. Если указанное неравенство выполняться не будет, то в качестве теоретического следует использовать другой закон распределения.

В приведенном примере (табл.2) ² = 3,53, k = 5 – 3 = 2. По таблице приложения 3 находим, что 0,2 > p( ²) > 0,1. Следовательно, можно считать, что распределение размеров соответствует нормальному закону.