Результаты вычислительного эксперимента:

Аналитическое решение системы:

Для решения используем третью метрику т.к. параметр α она оказалась самой наименьшей.

Параметры, используемые при решении:

• a3(b) – параметр α (в зависимости от метрики);

• p3 – метрика:

• b – матрица В, приведенная к итерационному виду;

• c – матрица А, приведенная к итерационному виду;

• А – матрица A;

• B – матрица В (столбец свободных членов);

• ξ – заданная точность;

• X – матрица В.

1. Метод Якоби:

Полученное решение	Количество итераций

2. Метод Зейделя:

Полученное решение	Количество итераций

3. Метод простой итерации:

Полученное решение	Количество итераций

4. Метод верхней релаксации:

Полученное решение	Количество итераций

где 1.1 – начальное приближение.

Вывод

Составив программу в пакете MathCAD и проанализировав полученные результаты, выяснилось, что самые точные результаты за меньшее число шагов получаются при самом маленьком и соответствующей ему метрикой пространства.

Наименьшее число шагов получилось в методе Зейделя. Методы простой итерации и Якоби сходятся так же достаточно быстро. Методы верхней релаксации оказался наименее эффективны при решении данной системы линейных уравнений.

Тексты программ:

Приведение матрицы А к итерационному виду:	Приведение матрицы В к итерационному виду:
Метод Якоби:	Количество итераций:
Метод Зейделя:
Количество итераций:

Метод верхней релаксации:

Количество итераций:

Метод простой итерации:	Количество итераций:
Для нахождения собственных значений матрицы А воспользуемся встроенной функцией eigenvals().

Нахождение метрик:

Численное решение систем нелинейных уравнений

Задача 4.1

Заданы две системы нелинейных уравнений. Найти с точностью ε = 10^-5 все решения заданной системы уравнений на указанном интервале. Для решения задачи использовать метод Ньютона , упрощенный метод Ньютона, метод секущих и метод Стеффенсена.

Графическая локализация корней системы уравнений:

Теоретический материал

Результаты вычислительного эксперимента

Ниже приведена таблица, в которой показано сколько итераций потребовалось для достижения заданной точности для каждого из методов:

Название метода	Число итераций при решении первой системы (начальное приближение: x = 2.9, y = 0.1)	Число итераций при решении второй системы (начальное приближение: x = -1.4, y = 0.7)
Метод Ньютона	4	1
Упр. метод Ньютона	9	3
Метод секущих	5 (-3.1;0.1)	12 (-1.3; 0.6)
Метод Стеффенсена	9	6