Тексты программ

Правило двойного пересчёта

Метод центральных прямоугольников
Метод трапеций Метод Симпсона Формула 3/8
Формула Милана

Формула Гаусса

Априорная оценка

Метод трапеций

Таким же образом находятся шаг и количество узлов для других формул, заменяется только 12 и f1(2.5), из формулы нахождения htr, на соответствующие значения.

Адаптивный метод

Метод Симпсона

Таким же образом используем адаптивный метод в других функциях.

Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

Постановка задачи 6.1

Необходимо численно решить задачу Коши y’=f(x,y) с начальным условием у(х0)=у0 на интервале [x0;L]. В решении использовать явную схему Эйлера, схемы Рунге-Кутты второго и четвертого порядка точности, формулу Адамса четвертого порядка точности.

Теоретический материал

Наиболее универсальные методы решения задачи Коши есть разностные методы, когда производные заменяются разностными отношениями. В результате исходное дифференциальное уравнение сводится к системе алгебраических уравнений, которые называются разностными. Решение этой системы даёт приближённое решение исходной задачи.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка:

y′ = f (x, y(x)), y(x0 ) = y0. (30)

Если функция f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной y в некоторой окрестности точки (x0, y0), то можно указать такой отрезок [a,b], x0 [a,b], на котором решение задачи существует и является единственным.

Пусть на отрезке [a,b] задан набор точек a = x0 <x1< ... < xi < xi +1 < ... < xn = b.

Будем называть его сеткой. Пусть сетка равномерная, т.е.

xi +1 − xi = h = (b − a)/ n, 0 ≤ i ≤ n −1.

Пусть каждой точке сетки xi сопоставлено по определённому закону число yi . Совокупность этих чисел назовём сеточной функцией {y}= y0 , y1, y2 ,..., yn . Сеточные функции, определённые на сетке, образуют (n+1)-мерное линейное пространство.

Метод Эйлера

Пусть нам нужно построить решение задачи на отрезке [a,b], x0 = a. Введём шаг

h =(b − a)/ n и образуем сетку: xi = x0 + ih, 0 ≤ i ≤ n.

Сопоставим задаче (30) на отрезке разностную задачу

(ui +1 − ui)/ h = f (xi ,ui ), 0 ≤ i ≤ n −1; u0 = y0 .

Уравнение является разностным уравнением первого порядка, которое называется схемой Эйлера. Его можно переписать в виде явной рекуррентной схемы:

ui +1 = ui + f (xi ,ui )h, 0 ≤ i ≤ n −1

Метод Рунге– Кутты

Чтобы повысить точность метода, нужно улучшить аппроксимацию дифференциального уравнения разностной схемой. Запишем для решения уравнения (30) формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

В результате получим новое приближённое рекуррентное соотношение, которое можно записать в виде разностного уравнения:

При разработке разностных схем высокого порядка точности стремятся заменить вычисление производных функции нахождением значений самой функции в нескольких точках.

Наиболее распространённые разностные схемы этого семейства схем Рунге-Кутты соответствуют двум значениям параметра α : α =1/2 и α =1.

При α =1/ 2:

При α =1:

Наиболее часто при проведении реальных расчётов используется схема

Рунге-Кутты четвёртого порядка точности:

Метод Адамса

Из уравнения (30) находим

Это соотношение непосредственно использовать нельзя, так как при переходе от точки сетки xi к точке xi +1 подынтегральная функция неизвестна. Рассмотрим, как эта проблема решается в методе Адамса. Пусть в процессе численного решения задачи расчёт доведён до точки xi и известны величины yi и f (xi, yi) . Построим интерполяционный многочлен Pm(x) некоторой фиксированной степени m, принимающий в точках

x j , i − m ≤ j ≤ i значения f (x j , y j ) .

(31)

Метод Адамса (31) является линейным многошаговым методом. При применении формулы (31) необходимо использовать (m+1) предыдущее значение дискретной функции u.

Разностное уравнение метода Адамса, соответствующее случаю полинома степени m аппроксимирует уравнение с точностью порядка hm+1 относительно h.

Если применить интерполяционный многочлен третьей степени на равномерной сетке из четырёх узлов xi , xi −1, xi −2 , xi −3 и провести интегрирование (31), то рекуррентная явная формула метода Адамса четвёртого порядка примет вид:

(32)

Вычислить первые три значения u1, u2 , u3 по формуле (32) нельзя, эти значения приходится вычислять каким-то другим методом четвёртого порядка точности относительно h, например методом Рунге Кутты.