Розподіли випадкових величин

Залежність імовірності значень x_i випадкової величини від самих значень називають розподілом випадкової величини. Наведемо декілька прикладів розподілів. Нехай імовірність спо­стереження випадкової події в одному досліді є p₀, а частоту появи події досліджують в m незалежних дослідах. Кількість дослідів, у яких подія спостерігається, є випадковою величиною {N}, що набуває цілих значень N_i = 0, 1, ..., m. Імовірність спостереження події в N_i дослідах визначається біноміальним розподілом

. (2.11)

За допомогою (2.11) можна, наприклад, знайти ймовірність то­го, що монета N_i разів впаде гербом догори, якщо її кидають m разів (тут p₀ = 0,5). Середнє значення такої випадкової величини дорівнює  = mp₀.

Якщо кількість дослідів m необмежено зростає, імовірність події p₀ в одному досліді дуже мала, а добуток mp₀ залишається скінченним, то ми приходимо від (2.11) до розподілу Пуасона:

. (2.12)

Підставляючи (2.12) в (2.7), виявляємо важливу особливість розподілу Пуасона - його дисперсія дорівнює середньому значенню (² =  ). На рис. 2.1 зображено залежності p(N_i) для різ­них . Якщо зростає крива розподілу Пуасона стає все більш симетричною відносно точки N_i =  . Водночас випадкова величина стає фактично неперервною. За умови  >> 1 (на практиці починаючи з  > 20) пуасонівський розподіл збігається з неперервним розподілом Гауса (див. нижче).

Серед розподілів, що описують клас непе­рервних випадкових величин, найважливішим є розподіл Гауса (нормальний розподіл). Густина ймовірності для нього визначається функцією

, (2.13)

де множник перед експонентою введено з умови нормування .

Рис. 2.1. Розподіл Пуасона для малих значень

Рис. 2.2. Розподіл Гауса для =20 (1), =80 (2) і розподіл Пуасона для =20 (3)

Найважливішою особливістю гаусівського розподілу є його симетрія щодо точки (імовірність відхилення не залежить від знака цього відхилення див. (2.13)). Саме таку ситуацію маємо на практиці, якщо є похибкою вимірювань. Знайдемо згідно з (2.2) імовірність того, що відхилення від середнього для гаусівської випадкової величини не перевищує середньоквадратичного відхилення:

. (2.14)

Для ймовірностей більших відхилень маємо відповідно

(2.15)

що не суперечить грубшим оцінкам (2.10). Оскільки ймовірність більшого, ніж 3, відхилення є лише 0,3%, то часто користуються “правилом 3 “: випадкова величина практично не відхиляється від математичного сподівання більше, ніж на 3.

Універсальність нормального розподілу (2.13) стає зрозумілою з таких міркувань. Відхилення часто можна трактувати як похибку, що виникає переважно внаслідок дії багатьох неконтрольованих факторів. Центральна гранична теорема математичної статистики стверджує, що дія багатьох факторів з інтенсивностями впливу на вимірювану величину одного порядку призводить якраз до нормального розподілу цієї величини. Отже, гаусівський розподіл є граничним, до якого прямують інші розподіли. За умови  >> 1 замість розподілу Пуасона можна користуватись нормальним розподілом із  =  (рис. 2.2). Тоді “квазінеперервна” густина ймовірності дорівнює

. (2.16)

Крім того, точну формулу (2.2) для ймовірності неперервної величини можна замінити наближеною:

, (2.17)

де - невеликий інтервал значень {N} в околі точки N_i (  = 1  5). Саме так побудовано криві 1 і 2 на рис. 2.2.

Нагадаємо ще раз, що поняттям “похибка вимірювань”, яке фігурувало в аргументації широких меж застосовності нормального розподілу, слід користуватись з певними застереженнями. Справді, відхилення від середнього значення кількості імпульсів лічильника, що реєструються у вивченні радіоактивного розпаду, зумовлені як власне похибками апаратури, так і статистичними закономірностями досліджуваного явища, які не можна називати похибками.