Статистика радіоактивного розпаду ядер

Радіоактивний розпад - явище принципово статистичне. Передбачити, коли саме розпадеться радіоактивне ядро, неможливо. Тому явище описують імовірністю dt розпаду ядра за час dt. Величезний експериментальний матеріал доводить, що параметр  (його називають сталою розпаду) є незмінним для цього типу ядер і не залежить від фізичних чи хімічних умов, у яких перебуває ядро. З погляду імовірності розпаду різні моменти часу нічим не виділені, тобто  не залежить і від часу. Звідси можна знайти ймовірність p₀(t) події, що ядро не розпадеться на проміжку часу від t = 0 до моменту t. Очевидно, величина -dp₀(t) буде ймовірністю події розпаду за час від t до  t + dt. Щоб це відбулося, потрібно аби ядро на момент часу t ще існувало (імовірність p₀(t)) і стався розпад за час dt (імовірність dt). Обидві згадані події незалежні, і ймовірність сукупної події визначається добутком їхніх імовірностей:

. (2.18)

Звідси

. (2.19)

На практиці ми маємо справу з величезними сукупностями нестабільних ядер (10²⁰ і більше). Відношення  = N_t/N₀ числа ядер N_t, що не розпалися на момент часу t, до повного числа ядер N₀ у момент t = 0 можна трактувати як частоту події, що полягає у відсутності розпаду. За законом великих чисел теорії ймовірності, за необмеженого зростання кількості випробувань (у нас це фактично N₀) частота події  дорівнює ймовірності p₀. Тому з (2.19) одержуємо закон радіоактивного розпаду (див. формулу (4) вступної частини):

. (2.20)

Час очікування t події розпаду є випадковою величиною, середнє значення якої  (середній час життя ядра) легко знайти з (2.4) і (2.19):

. (2.21)

Нехай часи спостереження за системою N₀ ядер не є безмежно малими, але набагато менші за період піврозпаду (  << 1). Тоді . Знайдемо ймовірність події розпаду на проміжку часу . Цю подію називають протилежною до події, що описується ймовірністю (2.19) (здійснення однієї з подій означає відсутність іншої, а разом вони охоп­люють усі можливі варіанти подій). Тому

. (2.22)

Розглянемо тепер випадкову величину {N}, яка визначає кількість розпадів ядер N_i на проміжку часу (формально її можливі значення є від нуля до N₀). Виникає питання про розподіл імовірності величини {N}. Для прикладу розглянемо імовірність p(1) розпаду лише одного з N₀ ядер (N_i = 1). Нехай розпалося лише перше ядро, а всі решта - ні. Події окремих розпадів незалежні, тому ймовірність такого варіанту подій . Якщо розпалося лише друге ядро, а решта - ні, то ймовірність варіанту . Кількість таких варіантів дорівнює числу ядер N₀ (вважаємо його практично незмінним за час ), а всі варіанти рівноймовірні ( ) і несумісні (тобто взаємозаперечні). Тому шукана ймовірність є сумою

. (2.23)

Із позначенням  = N₀ одержимо . Якщо взяти границю при N₀   і використати відоме співвідношення , прийдемо до

. (2.24)

Під час розгляду загального випадку ймовірності розпаду N_i ядер треба врахувати, що згадана вище кількість варіантів подій тоді дорівнює не N₀, а кількості комбінацій N_i елементів із множини N₀ елементів. Тому

. (2.25)

За умови дуже великих N₀ маємо . Беручи зно­ву границю, якщо N₀  , приходимо до кінцевої формули

. (2.26)

Вона описує розподіл Пуасона з параметром

 = N₀ . (2.27)

Зауважимо, що величина N₀, яка означає швидкість розпаду ядер, є активністю радіоактивної речовини (див. вступ­ну частину).

Отже, розподіл Пуасона можна вважати законом рідкісних подій. Справді, імовірність розпаду одного ядра  є дуже ма­лою, число ядер N₀ - дуже великим, а величина  = N₀ за­ли­шається скінченною згідно з обговореними вище умо­вами реалізації пуасонівського роз­поділу. Нарешті за­зна­чи­мо, що закон радіоактивного розпаду (2.20) виконується ли­ше для усереднених величин. Насправді кількість ядер, що роз­па­ло­ся, підлягає флуктуаційним коливанням, тим більшим, чим мен­­ше кількість досліджуваних ядер.