3. Метод простой итерации (метод Якоби)

Метод простой итерации [2], [5] рассмотрим на примере системы трех линейных алгебраических уравнений:

(2)

которую коротко можно записать в виде матричного уравнения:

Ах=b.

В исходной системе выделим диагональные коэффициенты а_ii 0 (где i =1, 2, 3).Предположим, что диагональные коэффициенты удовлетворяют условиям:

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то следует провести элементарные преобразования матрицы (см. п.4).

Разрешим первое уравнение системы (2) относительно х₁, второе –относительно х₂, третье – относительно х₃.

В результате получим эквивалентную систему:

(3)

где при ij (i, j=1,2,…,n).

Систему (3) можем записать в матричной форме: .

Систему (3) будем решать методом простой итерации. В качестве нулевого приближения x⁽⁰⁾ примем элементы столбца свободных членов:

x⁽⁰⁾=, т.е. x₁⁽⁰⁾=₁, x₂⁽⁰⁾=₂, x₃⁽⁰⁾=₃.

Далее, находим первое приближение х⁽¹⁾, подставляя найденные значения нулевого приближения в систему (3):

Подставляя значения приближения х⁽¹⁾ в правую часть системы (3), получим:

– второе приближение.

Продолжая этот процесс далее, получим последовательность х⁽⁰⁾, x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(k),... приближений, вычисляемых по рабочим формулам:

В общем виде рабочие формулы для системы n-уравнений:

(4)

Если последовательность приближений имеет предел:

то этот предел является решением системы. Таким образом, с увеличением числа итераций растет точность получаемых корней. Однако можно не производить огромное количество итераций, а задать определенную точность  решения, при достижении которой итерационный процесс завершается. Условие окончания итерационного процесса можно записать в виде:

где i= 1,2,3,…, n.

Пример № 1. Методом простой итерации решить систему с точностью = =10^-3.

Решение.

1. Приведем систему к виду (3) . Для этого необходимо все диагональные элементы системы оставить в левой части уравнения, а остальные элементы перенести с противоположным знаком в правую часть. Разделим каждое из уравнений системы на соответствующий коэффициент, стоящий в левой части уравнения:

2. В качестве начального вектора x⁽⁰⁾ возьмем элементы столбца свободных членов, округлив их значения до двух знаков после запятой:

3. Вычисления будем вести до тех пор, пока не будет выполнено условие

где  = 10^-3, i = 1,2,3,4.

Последовательно вычисляем: при k = 1:

Сравнивая полученные x_i⁽¹⁾ с x_i⁽⁰⁾ , видим, что условия сходимости не выполняются. При k = 2:

Сравнивая полученные x_i⁽²⁾ с x_i⁽¹⁾, видим, что условия сходимости не выполняются. При k = 3

Сравнивая полученные x_i⁽³⁾ с x_i⁽²⁾ видим, что условия сходимости не выполняются. При k = 4:

Для сравнения x_i⁽⁴⁾ с x_i⁽³⁾, найдем модули разностей значений

Так как все найденные значения модулей больше заданного числа

 = 10^-3, продолжаем итерации. Получаем при k = 5:

Находим модули разностей значений

Они меньше заданного числа , поэтому в качестве решения возьмем: x₁ = 0,7999, x₂ = 0,9999, x₃ = 1,1999, x₄ = 1,3999.