1.5 Случайные ошибки прямых измерений. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности
Говорить что-либо о случайной ошибке можно лишь в том случае, когда проведено несколько измерений одной и той же величины и получены отличающиеся друг от друга значения. Если в результате измерений получен ряд совершенно одинаковых значений, то это говорит о том, что случайная ошибка много меньше систематической (всегда присутствуют обе ошибки) и о ней не имеет смысла говорить. В этом случае в качестве ошибки прямого измерения указывается систематическая (в простейшем случае – точность прибора). Если хотя бы одно значение измеряемой величины отлично от других, случайную ошибку следует определить.
В п. 1.1 мы рассмотрели нормальное распределение значений измеряемой величины. Из симметричности кривой Гаусса следует, что вероятности появления ошибок разных знаков абсолютно равны. Отсюда вытекают два важных вывода:
1) наиболее вероятным значением измеряемой величины является среднее арифметическое xср из полученных значений xi;
2) чем больше проведено измерений xi , тем больше вероятность того, что ошибки разных знаков компенсируют друг друга, и тем ближе будет xср к истинному значению, то есть тем точнее будет проведено измерение xср. Очевидно, что xср совпадает с истинным значением только при бесконечно большом числе измерений.
Реальное число измерений всегда конечно. В этом случае среднее значение измеряемой величины будет отличаться от истинного на величину ошибки, характеризуемой среднеквадратичным отклонением (среднеквадратичной погрешностью)
,
(1.6)
которое меньше стандартной ошибки
отдельного измерения (1.2) в
раз.
Пусть в результате измерения толщины параллелепипеда получены следующие значения в миллиметрах: 15, 18, 16, 17, 19, 16, 17, 15. Согласно (1.3)
мм.
Согласно (1.6)
мм.
Абсолютная ошибка измерений Δx
должна быть пропорциональна величине
.
Возьмем сначала любой произвольный
коэффициент пропорциональности,
например, равный 2. Тогда можно записать:
мм.
Графически данный результат изображается следующим образом:
Казалось бы, указание абсолютной ошибки позволяет считать, что истинное значение величины не выходит за пределы интервала от (xср –Δx) до (xср +Δx), который называется доверительным интервалом. В то же время мы видим, что только четыре значения наших измерений попадают внутрь этого интервала, а остальные четыре лежат вне его.
Кроме указания величины ошибки (или доверительного интервала) необходимо указывать еще и доверительную вероятность α, которая показывает, с какой вероятностью (надежностью) результат измерения (среднее арифметическое значение xср) находится в пределах доверительного интервала. Иными словами, доверительная вероятность показывает, какое относительное число возможных значений величины xср попадает внутрь доверительного интервала. Обычно пользуются доверительной вероятностью α = 0,95.
Зная среднеквадратичное отклонение для значения xср , при заданной доверительной вероятности α можно определить абсолютную ошибку прямого измерения. Величина абсолютной ошибки определяется с помощью коэффициентов Стьюдента tα,n (таблица 1.1) как
.
(1.7)
В таблице 1.1 коэффициентов Стьюдента по вертикали указано число измерений n, а по горизонтали – выбранная величина доверительной вероятности α. На пересечении находится значение коэффициента Стьюдента tα,n. На практике, при большом числе измерений для доверительной вероятности 0,95 полагают коэффициент Стьюдента приблизительно равным 2,0.
Таблица 1.1 – Коэффициенты Стьюдента
Кол-во опытов, n |
Доверительная вероятность, α |
|||||||||
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
|
2 |
0,16 |
0,51 |
1,00 |
2,0 |
3,1 |
6,3 |
12,7 |
31,8 |
63,7 |
636,6 |
3 |
0,14 |
0,45 |
0,82 |
1,3 |
1,9 |
2,9 |
4,3 |
7,0 |
9,9 |
31,6 |
4 |
0,14 |
0,42 |
0,77 |
1,3 |
1,6 |
2,4 |
3,2 |
4,5 |
5,8 |
12,9 |
5 |
0,13 |
0,41 |
0,74 |
1,2 |
1,5 |
2,1 |
2,8 |
3,7 |
4,6 |
8,6 |
6 |
0,13 |
0,41 |
0,73 |
1,2 |
1,5 |
2,0 |
2,6 |
3,4 |
4,0 |
6,9 |
7 |
0,13 |
0,40 |
0,72 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,1 |
3,7 |
6,0 |
8 |
0,13 |
0,40 |
0,71 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,0 |
3,5 |
5,4 |
9 |
0,13 |
0,40 |
0,71 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,3 |
2,9 |
3,4 |
5,0 |
10 |
0,13 |
0,40 |
0,70 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,3 |
2,8 |
3,3 |
4,8 |
11 |
0,13 |
0,40 |
0,70 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,8 |
3,2 |
4,6 |
12 |
0,13 |
0,40 |
0,70 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,7 |
3,1 |
4,4 |
13 |
0,13 |
0,40 |
0,70 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,7 |
3,1 |
4,3 |
14 |
0,13 |
0,39 |
0,69 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,7 |
3,0 |
4,2 |
15 |
0,13 |
0,39 |
0,69 |
1,1 |
1,3 |
1,8 |
2,1 |
2,6 |
3,0 |
4,1 |
16 |
0,13 |
0,39 |
0,69 |
1,1 |
1,3 |
1,8 |
2,1 |
2,6 |
2,9 |
4,1 |
17 |
0,13 |
0,39 |
0,69 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,6 |
2,9 |
4,0 |
18 |
0,13 |
0,39 |
0,69 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,6 |
2,9 |
4,0 |
19 |
0,13 |
0,39 |
0,69 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,6 |
2,9 |
3,9 |
20 |
0,13 |
0,39 |
0,69 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,9 |
3,9 |
21 |
0,13 |
0,39 |
0,69 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,8 |
22 |
0,13 |
0,39 |
0,69 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,8 |
23 |
0,13 |
0,39 |
0,69 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,8 |
24 |
0,13 |
0,39 |
0,69 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,8 |
25 |
0,13 |
0,39 |
0,69 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,7 |
30 |
0,13 |
0,39 |
0,68 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,5 |
2,8 |
3,6 |
40 |
0,13 |
0,39 |
0,68 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,4 |
2,7 |
3,6 |
60 |
0,13 |
0,39 |
0,68 |
1,0 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,4 |
2,7 |
3,5 |
120 |
0,13 |
0,39 |
0,68 |
1,0 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,4 |
2,6 |
3,4 |
∞ |
0,13 |
0,39 |
0,67 |
1,0 |
1,3 |
1,6 |
2,0 |
2,3 |
2,6 |
3,3 |
Курсивом выделена доверительная вероятность, обычно используемая при выполнении лабораторных работ.
Кроме случайных ошибок измерения необходимо учесть еще и систематические ошибки, к которым мы относим также точность измерительного прибора. Закон распределения систематических ошибок мы не знаем, так как он может быть различным в каждом из экспериментов. Поэтому, для учета обоих типов ошибок, мы будем пользоваться следующей приближенной формулой для полной (суммарной) абсолютной ошибки:
. (1.8)
Таким образом, провести прямое измерение – это значит указать среднее значение измеряемой величины, полную абсолютную ошибку и доверительную вероятность, для которой справедливы данные значения.