1.6 Ошибки косвенных измерений
В большинстве случаев интересующую нас физическую величину непосредственно измерить трудно. Тогда эта величина вычисляется по формуле, связывающей ее с другими измеряемыми величинами. Например, для измерения объема параллелепипеда измеряются длины сторон a, b и с, а объем V вычисляется по формуле V=a∙b∙с. В данном случае измерения сторон а, b и с являются прямыми измерениями, а объема – косвенным измерением.
Пусть интересующая нас величина (у) является функцией нескольких других физических величин (аргументов xi , i = 1,2,…,n):
. (1.9)
В этом выражении независимые переменные x1, x2,…, xn обозначают непосредственно измеряемые величины, то есть образуют результаты прямых измерений. Зная полные абсолютные ошибки прямых измерений ΔxiΣ , можно вычислить абсолютную ошибку косвенного измерения Δy:
.
(1.10)
В ряде случаев функция (1.9) имеет вид
,
и для расчета ошибки косвенного измерения Δy вместо (1.10) проще использовать другую формулу. Пусть в ходе прямых измерений получены средние значения x1ср, x2ср,…, xn ср и абсолютные ошибки Δx1Σ, Δx2Σ,…, ΔxnΣ . При этом среднее значение величины y равно
.
Тогда относительная ошибка косвенного измерения y определяется по формуле:
.
(1.11)
В свою очередь, абсолютная ошибка Δy
находится по среднему значению yср
и известной относительной ошибке
как
Δy =yср∙
.
(1.12)
Строго говоря, формулы (1.10), (1.11) и (1.12) можно применять лишь в случаях, когда доверительные вероятности ошибок аргументов равны между собой. Доверительная вероятность ошибки косвенного измерения здесь будет равна доверительной вероятности, которой отвечают ошибки аргументов.
1.7 Графическое представление результатов измерений
Очень распространенным является эксперимент, в ходе которого изучается зависимость некоторой величины от другой или от ряда других величин, изменяющихся в определенном диапазоне. Полученные в результате эксперимента зависимости особенно наглядны при их графическом изображении. Для того чтобы наглядность графиков проявилась в полной мере, при их построении необходимо придерживаться определенных правил, выработанных многолетним опытом.
Для построения графиков удобнее всего пользоваться специальной графической бумагой ("миллиметровкой") с обычным линейным или логарифмическим масштабами. Удобным является формат бумаги 15x20 см (половина листа стандарта А4). Горизонтальная ось (внизу) и вертикальная ось (слева) графика совмещаются с сантиметровыми линиями миллиметровки. При этом слева и снизу необходимо оставить место для надписей, обозначений и разметки осей.
По горизонтальной оси принято откладывать независимую переменную (аргумент), то есть величину, значение которой задается экспериментатором. По вертикальной оси откладывается зависимая переменная (функция), то есть величина, значения которой определяются в эксперименте.
Наглядность и удобство графика зависит, прежде всего, от разметки осей, то есть от правильно выбранного масштаба и диапазона, в котором представляются исследуемые величины. Масштаб показывает, сколько единиц данной физической величины соответствует одному делению (например, 1 см). Диапазон определяется начальным и конечным значениями физической величины, откладываемыми на оси.
При разметке осей необходимо придерживаться трех правил.
1. Масштаб должен быть простым. Лучше всего, если одному сантиметру миллиметровки соответствует единица измеренной величины или ее значение, кратное 10; 100; 0,1; 0,01 и т.д. Можно использовать масштаб, кратный 2 или 5. Другие масштабы не допустимы, так как они усложняют построение и чтение графиков.
2. График строится после того, как проведены измерения во всем исследуемом диапазоне. Выбор начального и конечного значений шкалы на оси производится из условий полного использования поля графика. Распространенное заблуждение, что точке пересечений осей должно соответствовать нулевое значение, часто приводит к скоплению экспериментальных точек в углу поля графина. Так, например, из рисунка 1.4а довольно трудно извлечь полезную информацию. Изменив масштаб и ограничив диапазон для обеих осей (рисунок 1.4б), можно существенно улучшить графическое изображение результатов.
3. На осях графика следует указывать название или символ величины и единицы ее измерения. Если измеряемые величины отличаются от 1 на несколько порядков, то целесообразно представить их в форме с десятичным множителем (рисунок 1.4б).
После разметки осей следует нанести экспериментальные точки и приступить к построению собственно графика. При этом тоже нужно придерживаться определенных правил:
а) экспериментальные результаты наносятся на график хорошо выделяющимися точками;
б) если на графике для сравнения с экспериментом проводится теоретическая кривая, то расчетные точки, используемые для ее построения, на графике не должны быть видны;
в) экспериментальные точки соединяются плавной кривой – это и есть собственно график. На рисунке 1.4б пунктиром показано неправильное соединение экспериментальных точек. Разброс экспериментальных точек естественен и обусловлен наличием при измерениях случайной ошибки;
г) если на графике уже построена теоретическая кривая, то "экспериментальную" кривую проводить не обязательно, она может мешать прямому сравнению теории с экспериментом. Например, пунктирная кривая на рисунке 1.4б не нужна.
