Относительное равновесие несжимаемой жидкости

В технике широко распространены случаи, когда жидкость находится в состоянии относительного равновесия внутри сосудов, вращающихся вокруг вертикальной оси. Это происходит, например, при центробежной отливке металла, в центробежных сепараторах для разделения жидкости и многих других случаях.

Рассмотрим цилиндрический сосуд радиусом , заполненной капельной жидкостью плотностью и приведенный во вращение с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии (рис.3.8).

Рис. 3.8 Вращение жидкости в сосуде вокруг вертикальной оси

Жидкость, под действием силы трения приходит в движение и по истечении некоторого времени устанавливается состояние относительного равновесия.

При этом вся жидкость вращается вокруг оси с практически постоянной угловой скоростью, близкой к угловой скорости вращения резервуара.

Определим форму поверхностей равного давления и закон распределения гидростатического давления в системе отсчета, жестко связанной с вращающимся сосудом. Вертикальную координатную ось направим вдоль оси вращения. Рассмотрим точку лежащую в жидкости на некотором расстоянии от оси. На данную точку будут действовать две силы: сила тяжести перпендикулярная оси и направлена в противоположную сторону оси , и центробежная сила перпендикулярная оси . Во время вращения жидкость ведет себя как монолит, т.е. как твердое тело. При этом визуально видно, что свободная линия равного давления вращающейся жидкости представляет собой воронку (параболу). Запишем уравнение статики в форме Эйлера (3.10):

Давление на поверхность жидкости , тогда уравнение запишется:

Подставим значение плотности распределения массовых сил, получим

(3.27)

Уравнение (3.27) является уравнением параболы.

При относительном равновесии жидкости во вращающемся сосуде поле давлений изображается в виде семейства парабол. При этом расстояние по вертикали между соседними изобарами одинаково, как это следует из линейного закона распределения гидростатического давления по вертикали.

Свободная поверхность также является поверхностью равного давления, во всех точках которой давление равно внешнему давлению .

. Кинематика жидкости

4.1. Методы описания движения жидкости

Кинематика жидкости - раздел механики жидкости, в котором изучаются движение жидкости и его характеристики, но не рассматриваются силы, под действием которых осуществляется это движение.

В кинематике устанавливаются закономерности между координатами жидких частиц, их скоростями, ускорениями и другими параметрами, и изменениями этих параметров во времени.

Механическое состояние движущейся жидкости в любой точке внутри ее характеризуется двумя величинами: скоростью движения частиц жидкости и гидродинамическим давлением.

Представление о жидкости как о сплошной среде позволяет считать эти параметры непрерывными и дифференцируемыми функциями координат и времени. Существуют два способа описания движения жидкости:

1.Способ Лагранжа, который заключается в задании текущих значений координат каждой рассматриваемой материальной точки как функции времени. Способ Лагранжа теоретически применим к описанию движения жидкости, если рассматривать это движение, как непрерывный поток частиц жидкости, составляющих сплошную среду. Движение жидкости определено, если для каждой частицы жидкости можно указать координаты , как функции начального положения и времени . Кинематические уравнения движения записываются при этом в виде функциональной зависимости:

(4.1)

Переменные называют переменными Лагранжа

Несмотря на полную информацию о движении массы жидкости, которую дает метод Лагранжа, он не получил широкого применения в механике жидкости. Это связано с тем, что уравнения движения, составляемые на основе метода Лагранжа сложны и трудноразрешимы. По этой причине наиболее широкое применение в механике жидкостей находит метод Эйлера.

2. Способ Эйлера основан на том, что совокупность мгновенных местных скоростей во всей области пространства, занятого движущейся жидкостью представляет собой векторное поле, называемое полем скоростей. В поле скоростей выбирают фиксированную точку, в которой отслеживают изменения скоростей с течением времени. Переменные называют переменными Эйлера

Векторное поле скоростей может быть выражено и через проекции скоростей на соответствующие координатные оси в виде:

(4.2)

Так как состояние движущейся жидкости в каждой точке пространства определяется мгновенной локальной скоростью и значением гидродинамического давления, то описание движения жидкости сводится к определению поля скоростей и поля давлений во всем объеме, занимаемом движущейся жидкостью.

Полный дифференциал скорости будет равен:

Разделим данное уравнение на

Запишем уравнение на три координатные плоскости:

(4.3)

где левые части – полные производные ускорения в данных точках;

первые слагаемые правых частей – частные производные по времени -представляют собой проекции локального ( местного) ускорения в точке;

выделенные фигурной скобкой – конвективные производные;

выделенные по диагонали – прямые конвективные производные.

Важнейшей кинематической характеристикой, необходимой для составления динамических уравнений движения жидкости является ускорение.

В соответствии с физическим смыслом ускорение материальной точки или отдельной частицы жидкости определеяется полной производной вектора скорости по времени:

Местная производная указывает на стационарность (нестационарность) процесса. Или на установившееся и неустановившееся движения жидкости.

Установившимся (стационарным) называют движение, при котором основные параметры потока (скорость, давление, плотность) в данной точке пространства не изменяются с течением времени. Например, если скорость остается постоянной во времени, то или .

Конвективная производная показывает однородность (равномерность) поля скоростей.

Равномерным называется такое установившееся движение, при котором живые сечения вдоль потока не изменяются: в этом случае ; средние скорости по длине потока также не изменяются, т.е. . Примером равномерного движения является: движение жидкости в цилиндрической трубе, в канале постоянного сечения при одинаковых глубинах.

Установившееся движение называется неравномерным, когда распределение скоростей в различных поперечных сечениях неодинаково; при этом средняя скорость и площадь поперечного сечения потока могут быть и постоянными вдоль потока. Примером неравномерного движения может быть движение жидкости в конической трубе или в речном русле переменной ширины.

Напорным называется движение жидкости, при котором поток полностью заключен в твердые стенки и не имеет свободной поверхности. Напорное движение происходит вследствие разности давлений и под действием силы тяжести. Примером напорного движения является движение жидкости в замкнутых трубопроводах (например, в водопроводных трубах).

Безнапорным называется движение жидкости, при котором поток имеет свободную поверхность. Примером безнапорного движения может быть: движение жидкости в реках, каналах, канализационных и дренажных трубах. Безнапорное движение происходит под действием силы тяжести и за счет начальной скорости. Обычно на поверхности безнапорного потока давление атмосферное.

Если уровень жидкости в резервуаре поддерживать все время постоянным , путем непрерывного подвода жидкости в сосуд из крана, то форма струи, дальность ее полета и расход жидкости через отверстие будут постоянными. Этот случай является иллюстрацией установившегося движения жидкости.

Примером неустановившегося движения является истечение жидкости из отверстия в резервуаре. По мере понижения уровня жидкости в сосуде с течением времени (моменты времени ) уменьшается дальность полета струи и расход вытекающей жидкости.