Завдання для навчально-дослідної роботи

1. Прийнявши в якості вихідного виміряне значення напруги або силу струму на виході ланцюгової схеми, побудуйте відповідно до аналітичних виразів (див. методичні вказівки) полярні графіки й векторні діаграми напруг і струмів ланцюгової схеми і еквівалентної лінії для одного з досліджених режимів. Порівняйте отримані по аналітичних виразах графіки та діаграми з побудованими в п.12 за результатами вимірів.

2. Як зміняться графіки розподілу діючих значень напруг і струмів уздовж лінії в режимах н.х., к.з. і узгодженого навантаження, якщо коефіцієнт згасання лінії дорівнює 0?

3. Дослідіть вплив зміни частоти напруги джерела на характеристичний опір, сталі згасання й фази довгої лінії і моделюючої ланцюгової схеми.

Методичні вказівки

Ланцюговою схемою, або каскадним сполученням чотириполюсників називають таке з’єднання декількох чотириполюсників, при якому вхідні затискачі наступного чотириполюсника підключаються до вихідних затисків попереднього (рис. 52.3). Кожний із чотириполюсників, що входить у ланцюгову схему, називають ланкою, або коміркою, схеми. Якщо ланцюгова схема складається з однакових симетричних чотириполюсників, вона називається однорідною симетричною ланцюговою схемою.

Ланцюгові схеми використають для моделювання ліній зв'язку, ліній електропередач, гірлянд ізоляторів і т.п. при дослідженні розподілу напруг і струмів у названих лініях і пристроях. Точність моделювання буде тим більшою, чим більше число ланок буде містити ланцюгова схема. У більшості випадків обмежуються 8-12 ланками. Якщо потрібні співвідношення між струмами й напругами тільки на початку й наприкінці лінії, то досить однієї ланки.

Основою моделювання лінії ланцюговою схемою служить аналогія рівнянь довгої лінії, чотириполюсника й ланцюгової схеми. Нехай лінія довжиною характеризується коефіцієнтом поширення й хвильовим опором ; напруга й струм на вході лінії , , на виході - , . Тоді напругу й струм на вході лінії можна виразити через напругу й струм на виході співвідношеннями:

(52.1)

Рівняння симетричного чотириполюсника, еквівалентного довгій лінії:

(52.2)

де - стала передачі еквівалентного чотириполюсника, ;

- характеристичний опір чотириполюсника.

Рівняння однорідної ланцюгової схеми, що моделює лінію й складається з комірок:

(52.3)

де – відповідно стала передачі й характеристичний опір ланцюгової схеми;

- відповідно напруга й струм на виході ланцюгової схеми, що відповідає напрузі й струму в рівняннях (52.1) і (52.2).

З теорії ланцюгових схем відомо, що характеристичний опір однорідної симетричної ланцюгової схеми й кожної її ланки (чотириполюсника) однакові й рівні . Стала передачі всієї ланцюгової схеми , де , і - сталі відповідно передачі, згасання й фази однієї ланки.

Порівнюючи системи рівнянь (52.1)-(52.3), бачимо, що при однакових напругах і силах струму входу й виходу системи рівнянь будуть тотожні і, отже, довга лінія, чотириполюсник і ланцюгова схема будуть еквівалентні одне одному, якщо:

1. хвильовий (характеристичний) опір лінії, чотириполюсника і однієї ланки ланцюгової схеми рівні між собою;

2) коефіцієнт поширення лінії пов'язаний з сталими передачі чотириполюсника й ланцюгової схеми залежністю , що відповідає співвідношенням , .

Характеристичний опір симетричного чотириполюсника можна визначити з дослідів н.х. і к.з.

де - вхідний опір чотириполюсника при розімкнутих вихідних затискачах, ;

- вхідний опір чотириполюсника при короткозамкнених вихідних затискачах, .

Стала передачі симетричного чотириполюсника пов'язана із вхідними опорами х. х, і к.з. залежністю .

Беручи до уваги, що ,

для сталої передачі чотириполюсника матимемо:

.

Отже, , .

Визначивши сталу фази однієї ланки і всієї ланцюгової схеми , можна обчислити довжину лінії, еквівалентній даній ланцюговій схемі, якщо відомо фазову швидкість хвилі в лінії .

Беручи до уваги, що фазова швидкість хвилі ( - кругова частота зміни напруги) і враховуючи, що згідно (52.4) , для довжини еквівалентної лінії одержуємо

(52.5)

Приклад. Обчислити довжину повітряної лінії, що моделюється ланцюговою схемою, що складається з 12 однакових комірок. Стала фази однієї комірки при частоті Гц , рад. Фазову швидкість хвилі в лінії прийняти = м/с.

Відповідно до (52.5) для довжини лінії маємо

= = (м) = 6000 км.

Коефіцієнти згасання й фази довгої лінії, еквівалентній ланцюговій схемі:

.

Значення напруги й силу струму в лінії на відстані від кінця визначають по рівняннях

(52.6)

Цим рівнянням аналогічні рівняння для напруги й струму на вході -ї ланки ланцюгової схеми

(52.7)

Використаємо наведені рівняння для з'ясування розподілу напруг і струмів уздовж лінії та в ланцюговій схемі при різних режимах роботи: н.х., к.з., у режимі узгодженого навантаження.

У режимі н.х. сила струму на виході лінії й ланцюгової схеми .

Тоді рівняння (52.6) і (52.7) приймуть вигляд:

а) для лінії

(52.8)

б) для ланцюгової схеми

Розподіл струмів і напруг уздовж лінії й у ланцюговій схемі зручно показати в полярних координатах або в комплексній площині. Векторні діаграми й графіки розподілу струмів і напруг зображені на рис. 52.4.

Побудова виконуємо в такий спосіб. Відкладаємо в комплексній площині відрізок , рівний у масштабі напрузі (половина напруги на виході ланцюгової схеми). Кут між напрямком і віссю дійсних чисел ( +1) дорівнює початковій фазі вихідної напруги . Повернувши вектор у додатньому напрямку (тобто проти ходу годинної стрілки) на кут , одержимо вектор , а у від’ємному напрямку – вектор . Довжини векторів і змінимо в порівнянні з вектором у раз. Кожну наступну пару векторів і , і й т.д. будуємо аналогічно. Складаючи далі вектори й , одержуємо вектор , що визначає точку на графіку гіперболічного косинуса від комплексного аргументу, тобто точку на геометричному місці векторів . Виконуючи подібні побудови для інших пар векторів, знаходимо вектори , ,..., , що визначають напруги на вході кожної ланки ланцюгової схеми. З'єднуючи точки плавної кривої, одержуємо полярний графік зміни напруги в режимі н.х. уздовж еквівалентної довгої лінії.

Побудова векторних діаграм, що показують розподіл величин і фаз струмів уздовж ланцюгової схеми в режимі н.х., приведемо для випадку, коли аргумент характеристичного опору комірок ланцюгової схеми =0. У цьому випадку досить вибрати відрізок , рівний у масштабі величині , і побудувати різницю векторів

і

Струм на виході ланцюгової схеми дорівнює нулю, а вектори , визначають струм на вході кожної ланки ланцюгової схеми в режимі н.х. З'єднуючи точки плавною кривою, одержуємо полярний графік зміни струмів в режимі н.х. для еквівалентної довгої лінії.

У режимі к.з. напруга на виході лінії й ланцюгової схеми . Тоді з рівнянь (52.6) і (52.7) одержуємо:

а) для лінії

(52.9)

б) для ланцюгової схеми

(52.10)

З рівнянь (52.9) і (52.10) видно, що в режимі К.З. розподіл напруг у лінії й ланцюговій схемі буде визначатися законом синуса. Ці співвідношення показують, що полярний графік зміни напруги уздовж лінії аналогічний графікові (крива ), а графік зміни струму аналогічний графікові (крива див. рис. 52.4).

Для режиму узгодженого навантаження лінії ; тоді рівняння лінії (52.6) можна спростити

(52.11)

Для ланцюгової схеми при узгодженому навантаженні

Геометричним місцем кінців векторів, обумовлених рівняннями (52.11), у полярних координатах є логарифмічна спіраль, що розгортається (крива , див. рис. 52.4). Якщо характеристичний (хвильовий) опір ланцюгової схеми (еквівалентної лінії) чисто активний ( = 0), то векторні діаграми напруг і струмів ланцюгової схеми (еквівалентної лінії) відповідно до наведених раніше рівнянь для узгодженого навантаження можна представити системою векторів , див. рис. 52.4. Відрізок у певних масштабах і являє собою напругу й струм на виході ланцюгової схеми (еквівалентної лінії), а відрізок – напруга й струм на вході.

Якщо характеристичний опір має реактивну складову ( ), то система векторів струмів буде зміщена щодо системи векторів напруг на кут. Векторні діаграми струмів і напруг ланок ланцюгової схеми, а також полярні графіки розподілу струмів і напруг уздовж еквівалентної довгої лінії при показані на рис. 52.5. Тут система векторів зображує векторну діаграму напруг ланок ланцюгової схеми, а система векторів – векторну діаграму струмів.

Діючі значення напруги й сили струму в будь-якій точці лінії можна визначити, виділивши модулі з комплексних напруг і струмів у рівняннях (52.8), (52.9) і (52.11). Тоді одержимо:

а) для режиму н.х. лінії

(52.12)

б) для режиму к.з.

(52.13)

де

в) для режиму узгодженого навантаження

На рис.52.6 показані графіки розподілу діючих значень напруг і струмів уздовж лінії в режимі н.х., отримані по виразах (52.12).

Із графіків видно, що при н.х. напруга в міру віддалення від кінця лінії спочатку зменшується, а струм збільшується доти, поки напруга не досягне деякого мінімуму, а струм – максимуму (у загальному випадку – мінімум напруги й максимум струму розташовані в різних точках лінії). Після цього напруга почне зростати, а струм падати, поки напруга не досягне максимуму, а струм мінімуму й т.д. Максимуми й мінімуми чергуються через інтервали, приблизно рівні половині довжини хвилі. Між максимумами напруги й струму зміщення становить приблизно чверть довжини хвилі. Подібні графіки розподілу напруг і струмів при к.з. лінії можна побудувати по виразах (52.13).

Вхідний опір для режимів н.х., к.з., узгодженого навантаження можемо одержати відповідно з рівнянь (52.8), (52.9) і (52.11).

При н.х. для вхідного опору лінії .

При к.з. лінії вхідний опір .

При узгодженому навантаженні вхідний опір лінії дорівнює хвильовому .

Модулі вхідних опорів лінії при н.х. і к.з. одержати з рівнянь (52.12) і (52.13):

а) для режиму н.х. ;

б) при к.з. лінії .

Графіки зміни модулів вхідних опорів при н.х. і к.з. показані на рис. 52.7.

З наведених залежностей і графіків для й видно, що в зазначених режимах вхідний опір лінії при зміні її довжини змінюється хвилеподібно. Функції модулів і мають екстремуми при або при , де = 1, 2, 3 і, т.д.

З векторних діаграм, зображених на рис.52.4, можна встановити, що протягом першої чверті довжини хвилі від кінця лінії струм у режимі н.х. випереджає напругу, тобто вхідний опір лінії носить ємнісний характер. Потім струм відстає по фазі від напруги, тобто характер вхідного опору змінюється на індуктивний і т.д.

[3,с.451-454, 533-538]